Calcule as seguintes integrais
\int \frac{1}{\sqrt{16+x^{2}}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{16+x^{2}}}\,dx.
Informações dadas (claras no enunciado):
  • A integranda é 1/\sqrt{16+x^{2}}.
  • A constante 16 é positiva, o que sugere substituições trigonométricas ou hiperbólicas que eliminem a raiz.
  • A resposta deve ser uma primitiva (ou seja, expressão mais constante de integração).

Passo 2

Escolha do método: vou usar a substituição trigonométrica
x = 4\tan\theta,
porque para formas \sqrt{a^{2}+x^{2}} a substituição x=a\tan\theta transforma a raiz em a\operatorname{sec}\theta, simplificando bastante a integral. Essa é uma técnica básica e ensinada cedo em cálculo; ela evita técnicas mais exóticas e funciona bem sem conhecimentos prévios de funções hiperbólicas. (Alternativa: x=4\operatorname{sinh} u leva diretamente a uma primitiva \operatorname{arsinh}(x/4), mas aqui seguimos a trigonométrica por ser mais habitual.)

Passo 3

Calcular diferencial e reescrever a raiz:
x = 4\tan\theta \quad\Rightarrow\quad dx = 4\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
A raiz fica
\sqrt{16+x^{2}}=\sqrt{16+16\tan^{2}\theta}=4\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=4\operatorname{sec}\theta,
onde usei a identidade trigonométrica 1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta.

Passo 4

Substituir na integral original:
\int \frac{1}{\sqrt{16+x^{2}}}\,dx =\int \frac{1}{4\operatorname{sec}\theta}\cdot(4\operatorname{sec}^{2}\theta)\,d\theta =\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Ou seja, a integral reduziu-se a \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 5

Calcular \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta passo a passo (truque padrão):
Começa-se multiplicando e dividindo por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta:
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta =\int \frac{\operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta =\int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta.
Agora note que a derivada de \operatorname{sec}\theta+\tan\theta é
\frac{d}{d\theta}(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta,
ou seja, o numerador acima é exatamente d(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)/d\theta. Assim, com u=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta tem-se du=(\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta, e a integral torna-se
\int \frac{du}{u}=\ln\big|u\big|+C=\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|+C.

Passo 6

Voltar para a variável x. Temos \tan\theta=\dfrac{x}{4} (pela substituição) e
\operatorname{sec}\theta=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{1+\frac{x^{2}}{16}}=\frac{\sqrt{16+x^{2}}}{4}.
Portanto
\operatorname{sec}\theta+\tan\theta=\frac{\sqrt{16+x^{2}}}{4}+\frac{x}{4}=\frac{\sqrt{16+x^{2}}+x}{4}.
Logo a primitiva encontrada é
\ln\Big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\Big|+C =\ln\!\Big|\frac{\sqrt{16+x^{2}}+x}{4}\Big|+C.
Como \ln\!\big|\tfrac{\sqrt{16+x^{2}}+x}{4}\big|=\ln\big|\sqrt{16+x^{2}}+x\big|-\ln 4, e -\ln 4 é apenas mais uma constante, ela pode ser absorvida em C. Aplicando essa simplificação obtemos a forma usual da primitiva.

Resposta

\ln\!\big|x+\sqrt{x^{2}+16}\big|+C

Exercícios relacionados