Calcule as seguintes integrais \int \frac{1}{\sqrt{16+x^{2}}} d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{16+x^{2}}}\,dx.
Informações dadas (claras no enunciado):
A integranda é 1/\sqrt{16+x^{2}}.
A constante 16 é positiva, o que sugere substituições trigonométricas ou hiperbólicas que eliminem a raiz.
A resposta deve ser uma primitiva (ou seja, expressão mais constante de integração).
Passo 2
Escolha do método: vou usar a substituição trigonométrica
x = 4\tan\theta,
porque para formas \sqrt{a^{2}+x^{2}} a substituição x=a\tan\theta transforma a raiz em a\operatorname{sec}\theta, simplificando bastante a integral. Essa é uma técnica básica e ensinada cedo em cálculo; ela evita técnicas mais exóticas e funciona bem sem conhecimentos prévios de funções hiperbólicas. (Alternativa: x=4\operatorname{sinh} u leva diretamente a uma primitiva \operatorname{arsinh}(x/4), mas aqui seguimos a trigonométrica por ser mais habitual.)
Passo 3
Calcular diferencial e reescrever a raiz:
x = 4\tan\theta \quad\Rightarrow\quad dx = 4\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Ou seja, a integral reduziu-se a \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Passo 5
Calcular \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta passo a passo (truque padrão):
Começa-se multiplicando e dividindo por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta:
ou seja, o numerador acima é exatamente d(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)/d\theta. Assim, com u=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta tem-se du=(\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta, e a integral torna-se
Como \ln\!\big|\tfrac{\sqrt{16+x^{2}}+x}{4}\big|=\ln\big|\sqrt{16+x^{2}}+x\big|-\ln 4, e -\ln 4 é apenas mais uma constante, ela pode ser absorvida em C. Aplicando essa simplificação obtemos a forma usual da primitiva.