(3:) Rusolva, por T.L.:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condições iniciais:
O que ele pede: encontrar a solução
que satisfaça essa equação e as condições iniciais.
Passo 2
Vou usar a Transformada de Laplace. Antes de aplicar, lembro as fórmulas que vou usar (tudo escrito explicitamente para você poder aplicar na prova):
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
- Regras para derivadas (com
, e dados):
Expliquei isso porque ao transformar a EDO as derivadas viram polinômios em
multiplicando
, e as condições iniciais aparecem automaticamente (muito útil em provas).
- Transformadas básicas que vou usar:
- Também vou usar a propriedade de deslocamento: se
; em particular
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace na EDO inteira. Tomando
:
Substituindo as fórmulas das transformadas das derivadas e as condições iniciais
:
Simplifico o lado esquerdo:
Passo 4
Isolo
:
Faço uma única fração no numerador (multiplicando numerador e denominador por
para facilitar a decomposição):
Passo 5
Agora faço decomposição em frações parciais. Vou procurar constantes
tais que
Multiplico ambos os lados por
para obter uma igualdade de polinômios:
Passo 6
Expando e agrupo termos por potência de
Somando:
Comparo com o lado esquerdo
, cujos coeficientes são
. Assim obtenho o sistema:
Resolvo passo a passo:
- Da última equação
- Substituo em
:
- De
segue - Finalmente, de
,
Calculo os termos numéricos:
. Então
Portanto as constantes são
Passo 7
Escrevo
com essas constantes:
Para inverter a última fração com a forma de
e
, reescrevo o denominador completando o quadrado:
Também escrevo o numerador da última fração em termos de
. Faço
pois
. Assim
Agora uso as inversas conhecidas:
Portanto
Passo 8
Agora inviro
termo a termo:
-
-
- Para a parte com deslocamento:
Somando todos os termos obtenho a solução em tempo:
Uma forma compacta (fatorando
) é
Se quiser, dá para verificar rápido que
e
, o que confere com as condições iniciais (bom sinal!).