( 2,5 pontos) Calcule a integral tripla de f(x, y, z)=e^{x+y+z} sabendo que o domínio de integração, no primeiro octante, é limitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=1. Utilize d V=d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla de f(x,y,z)=e^{x+y+z} sobre o domínio no primeiro octante limitado pelos planos coordenados ( x=0, y=0, z=0) e pelo plano x+y+z=1. O diferencial pedido é dV = dz\,dy\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função integranda é \,f(x,y,z)=e^{x+y+z}.
  • O domínio está no primeiro octante: x\ge0, y\ge0, z\ge0.
  • O plano que fecha o domínio é \,x+y+z=1.
  • A ordem de integração exigida é dz\,dy\,dx.
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral tripla
\iiint_{\text{domínio}} e^{x+y+z}\,dVí
usando dz\,dy\,dx?

Passo 2

Vamos descrever o domínio e obter os limites de integração na ordem dz\,dy\,dx.
  • Para pontos no primeiro octante sob o plano \,x+y+z=1, ao fixar x e y o valor de z varia desde 0 até a superfície definida por \,z=1-x-y. Logo, o limite para z é
0 \le z \le 1 - x - y.
  • Agora, para que 1-x-y seja não negativo (ou seja, para que exista z entre 0 e 1-x-y), precisamos de x\ge0, y\ge0 e x+y\le1. Isso descreve o triângulo no plano xy com vértices (0,0),(1,0),(0,1).
  • Assim, escolhendo x por último, os limites para y e x são
0 \le y \le 1 - x,\qquad 0 \le x \le 1.
Portanto a integral tripla na ordem solicitada é
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y} e^{x+y+z}\,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em z. Primeiro observação útil sobre exponencial:
\,e^{x+y+z}=e^{x+y}\,e^{z}, pois \,e^{a+b}=e^{a}e^{b}. Isso permite tratar e^{x+y} como constante quando integramos em z.
Calcule a integral interna:
\int_{z=0}^{1-x-y} e^{x+y+z}\,dz = e^{x+y}\int_{0}^{1-x-y} e^{z}\,dz.
A primitiva de e^{z} é e^{z}. Portanto
\int_{0}^{1-x-y} e^{z}\,dz = e^{1-x-y}-e^{0}=e^{1-x-y}-1.
Multiplicando por e^{x+y} obtemos
e^{x+y}\bigl(e^{1-x-y}-1\bigr)=e^{1}-e^{x+y}.
Note que e^{x+y}\cdot e^{1-x-y}=e^{1} e e^{x+y}\cdot 1=e^{x+y}.
Assim a integral tripla reduz para a dupla
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\bigl(e - e^{x+y}\bigr)\,dy\,dx,
onde usei e como atalho para e^{1}.

Passo 4

Separe a dupla integral em duas parcelas e calcule cada uma:
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x} \bigl(e - e^{x+y}\bigr)\,dy\,dx = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x} e\,dy\,dx \;-\; \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x} e^{x+y}\,dy\,dx.
Primeira parcela: e é constante, então
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x} e\,dy\,dx = e \int_{x=0}^{1}\bigl( \int_{y=0}^{1-x} 1\,dy \bigr) dx = e \int_{x=0}^{1} (1-x)\,dx.
Calcule \int_{0}^{1}(1-x)\,dx:
\int_{0}^{1} (1-x)\,dx = \bigl[x - \tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1} = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.
Logo a primeira parcela vale \,e\cdot \tfrac{1}{2}=\dfrac{e}{2}.

Passo 5

Agora a segunda parcela:
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x} e^{x+y}\,dy\,dx.
Usando e^{x+y}=e^{x}e^{y}, na integração em y e^{x} é constante:
\int_{y=0}^{1-x} e^{x+y}\,dy = e^{x}\int_{0}^{1-x} e^{y}\,dy = e^{x}\bigl(e^{1-x}-1\bigr).
Multiplicando: e^{x}\cdot e^{1-x} = e^{1}=e. Então isso é e - e^{x}.
Portanto a segunda parcela torna-se
\int_{x=0}^{1} \bigl(e - e^{x}\bigr)\,dx = \int_{0}^{1} e\,dx \;-\; \int_{0}^{1} e^{x}\,dx.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{1} e\,dx = e\cdot 1 = e, \qquad \int_{0}^{1} e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1} = e - 1.
Subtraindo,
e - (e - 1) = 1.
Logo a segunda parcela vale 1.

Passo 6

Junte as parcelas: a integral total é
\frac{e}{2} \;-\; 1.
Esse é um número positivo pequeno, pois \dfrac{e}{2}\approx1{,}359 e \dfrac{e}{2}-1\approx0{,}359.

Resposta

\dfrac{e}{2}-1

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