( 2,5 pontos) Calcule a integral tripla de
sabendo que o domínio de integração, no primeiro octante, é limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. Utilize
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla de
sobre o domínio no primeiro octante limitado pelos planos coordenados (
,
,
) e pelo plano
. O diferencial pedido é
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função integranda é
. - O domínio está no primeiro octante:
, , . - O plano que fecha o domínio é
. - A ordem de integração exigida é
.
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral tripla
usando
?
Passo 2
Vamos descrever o domínio e obter os limites de integração na ordem
.
- Para pontos no primeiro octante sob o plano
, ao fixar e o valor de varia desde até a superfície definida por . Logo, o limite para é
- Agora, para que
seja não negativo (ou seja, para que exista entre 0 e ), precisamos de , e . Isso descreve o triângulo no plano com vértices . - Assim, escolhendo
por último, os limites para e são
Portanto a integral tripla na ordem solicitada é
Passo 3
Vamos calcular a integral interna em
. Primeiro observação útil sobre exponencial:
, pois
. Isso permite tratar
como constante quando integramos em
.
Calcule a integral interna:
A primitiva de
é
. Portanto
Multiplicando por
obtemos
Note que
e
.
Assim a integral tripla reduz para a dupla
onde usei
como atalho para
.
Passo 4
Separe a dupla integral em duas parcelas e calcule cada uma:
Primeira parcela:
é constante, então
Calcule
:
Logo a primeira parcela vale
Passo 5
Agora a segunda parcela:
Usando
, na integração em
é constante:
Multiplicando:
. Então isso é
.
Portanto a segunda parcela torna-se
Calcule cada termo:
Subtraindo,
Logo a segunda parcela vale
.
Passo 6
Junte as parcelas: a integral total é
Esse é um número positivo pequeno, pois
e
.