Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a integranda é .
Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma expressão tal que
.
Informações dadas: a integranda é
Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma expressão
Passo 2
Estratégia (explicada de forma didática): quando temos uma potência par de cosseno, como
, a maneira mais prática é reduzir a potência usando a identidade de redução de potência
Vou aplicar essa identidade para transformar
em uma soma de termos mais simples (constantes e cossenos de múltiplos ângulos), que são fáceis de integrar termo a termo.
Passo 3
Aplicando a identidade para
:
Como
, substituímos:
Passo 4
Agora desenvolvemos o quadrado com cuidado:
Ainda temos
, que reduzimos novamente usando a identidade:
Substituindo:
Passo 5
Continuamos a simplificar a expressão:
Multiplicando o
:
Essa forma é ótima porque agora a integral fica simples: integraremos uma constante e cossenos de argumentos lineares.
Passo 6
Escrevemos a integral usando a decomposição:
Como
é constante, podemos tirá-la fora:
Passo 7
Integramos termo a termo. Lembrete importante (fórmula usada): para constante
e constante
,
Aplicando isso:
Simplificando os coeficientes dentro:
Passo 8
Agora multiplicamos pelo fator
:
Fazendo as simplificações das frações:
Se quiser, pode checar rapidamente derivando essa expressão: a derivada de
é
; a derivada de
é
; a derivada de
é
. Somando e recolhendo fator
volta-se a
, confirmando que está correto.