Calcule as seguintes integrais:
\int \cos ^{4} 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \cos^{4} 3x \, dx.
Informações dadas: a integranda é \cos^{4} 3x.
Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma expressão F(x) tal que F'(x)=\cos^{4}3x.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática): quando temos uma potência par de cosseno, como \cos^{4}, a maneira mais prática é reduzir a potência usando a identidade de redução de potência
\cos^{2}u=\frac{1+\cos(2u)}{2}.
Vou aplicar essa identidade para transformar \cos^{4}3x em uma soma de termos mais simples (constantes e cossenos de múltiplos ângulos), que são fáceis de integrar termo a termo.

Passo 3

Aplicando a identidade para \cos^{2}(3x):
\cos^{2}(3x)=\frac{1+\cos(6x)}{2}.
Como \cos^{4}(3x)=(\cos^{2}(3x))^{2}, substituímos:
\cos^{4}(3x)=\left(\frac{1+\cos(6x)}{2}\right)^{2}.

Passo 4

Agora desenvolvemos o quadrado com cuidado:
\left(\frac{1+\cos(6x)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\big(1+2\cos(6x)+\cos^{2}(6x)\big).
Ainda temos \cos^{2}(6x), que reduzimos novamente usando a identidade:
\cos^{2}(6x)=\frac{1+\cos(12x)}{2}.
Substituindo:
\cos^{4}(3x)=\frac{1}{4}\left(1+2\cos(6x)+\frac{1+\cos(12x)}{2}\right).

Passo 5

Continuamos a simplificar a expressão:
\cos^{4}(3x)=\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}+2\cos(6x)+\frac{1}{2}\cos(12x)\right).
Multiplicando o \tfrac{1}{4}:
\cos^{4}(3x)=\frac{1}{8}\big(3+4\cos(6x)+\cos(12x)\big).
Essa forma é ótima porque agora a integral fica simples: integraremos uma constante e cossenos de argumentos lineares.

Passo 6

Escrevemos a integral usando a decomposição:
\int \cos^{4}3x\,dx = \int \frac{1}{8}\big(3+4\cos(6x)+\cos(12x)\big)\,dx.
Como \frac{1}{8} é constante, podemos tirá-la fora:
\int \cos^{4}3x\,dx = \frac{1}{8}\int \big(3+4\cos(6x)+\cos(12x)\big)\,dx.

Passo 7

Integramos termo a termo. Lembrete importante (fórmula usada): para constante a e constante k\neq 0,
\int a\,dx = a x + C,\qquad \int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx)+C.
Aplicando isso:
\int \big(3+4\cos(6x)+\cos(12x)\big)\,dx = 3x + 4\cdot\frac{1}{6}\sin(6x) + \frac{1}{12}\sin(12x) + C.
Simplificando os coeficientes dentro:
3x + \frac{4}{6}\sin(6x) + \frac{1}{12}\sin(12x) + C = 3x + \frac{2}{3}\sin(6x) + \frac{1}{12}\sin(12x) + C.

Passo 8

Agora multiplicamos pelo fator \tfrac{1}{8}:
\frac{1}{8}\left(3x + \frac{2}{3}\sin(6x) + \frac{1}{12}\sin(12x)\right) + C.
Fazendo as simplificações das frações:
\frac{3x}{8} + \frac{1}{12}\sin(6x) + \frac{1}{96}\sin(12x) + C.
Se quiser, pode checar rapidamente derivando essa expressão: a derivada de \tfrac{3x}{8} é \tfrac{3}{8}; a derivada de \tfrac{1}{12}\sin(6x) é \tfrac{1}{12}\cdot 6\cos(6x)=\tfrac{1}{2}\cos(6x); a derivada de \tfrac{1}{96}\sin(12x) é \tfrac{1}{96}\cdot 12\cos(12x)=\tfrac{1}{8}\cos(12x). Somando e recolhendo fator \tfrac{1}{8} volta-se a \cos^{4}(3x), confirmando que está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{3x}{8}+\frac{1}{12}\sin(6x)+\frac{1}{96}\sin(12x)+C

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