Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{25-16 x^{2}}} d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{25-16 x^{2}}}\,dx.
Informações dadas e relevantes:
  • A função integranda é \dfrac{x^{2}}{\sqrt{25-16x^{2}}}.
  • A expressão dentro da raiz impõe 25-16x^{2}\ge 0, ou seja |x|\le \dfrac{5}{4} (isso é relevante se precisarmos justificar escolhas de sinais na substituição trigonométrica).
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função mais uma constante de integração C.

Passo 2

Motivação do método: a raiz tem a forma \sqrt{a^{2}-(b x)^{2}}, então uma substituição trigonométrica do tipo b x = a\sin\theta simplifica a raiz para algo envolvendo \cos\theta. Aqui a=5 e b=4, portanto fazemos a substituição
x=\frac{5}{4}\sin\theta.
Agora calculemos as quantidades necessárias:
dx=\frac{5}{4}\cos\theta\,d\theta,
e a raiz fica
\sqrt{25-16x^{2}}=\sqrt{25-16\left(\frac{5}{4}\sin\theta\right)^{2}} =\sqrt{25-25\sin^{2}\theta}=5\cos\theta,
onde escolhemos o arco de \theta tal que \cos\theta\ge0 (por exemplo \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]), o que é compatível com |x|\le 5/4.

Passo 3

Substituímos na integral cada termo em função de \theta. Temos
x^{2}=\left(\frac{5}{4}\sin\theta\right)^{2}=\frac{25}{16}\sin^{2}\theta,
portanto a integral transforma-se em
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{25-16x^{2}}}\,dx =\int \frac{\tfrac{25}{16}\sin^{2}\theta}{5\cos\theta}\cdot\frac{5}{4}\cos\theta\,d\theta.
Cancelando fatores e simplificando:
\frac{\tfrac{25}{16}\sin^{2}\theta}{5\cos\theta}\cdot\frac{5}{4}\cos\theta =\frac{25}{16}\sin^{2}\theta\cdot\frac{1}{4} =\frac{25}{64}\sin^{2}\theta.
Logo a integral em \theta é
\int \frac{25}{64}\sin^{2}\theta\,d\theta =\frac{25}{64}\int \sin^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Precisamos integrar \sin^{2}\theta. Usamos a identidade de redução (fórmula do ângulo duplo):
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}.
Então
\frac{25}{64}\int \sin^{2}\theta\,d\theta =\frac{25}{64}\int \frac{1-\cos 2\theta}{2}\,d\theta =\frac{25}{128}\int (1-\cos 2\theta)\,d\theta.
Integramos termo a termo:
\int (1-\cos 2\theta)\,d\theta=\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta.
Portanto a primitiva em \theta é
\frac{25}{128}\Big(\theta-\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\Big)+C.

Passo 5

Simplificamos \sin 2\theta usando \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta. Assim \tfrac{1}{2}\sin 2\theta=\sin\theta\cos\theta e a primitiva fica
\frac{25}{128}\big(\theta-\sin\theta\cos\theta\big)+C.
Agora voltamos para a variável x. Da substituição temos
\sin\theta=\frac{4x}{5}, \qquad \cos\theta=\frac{\sqrt{25-16x^{2}}}{5},
e
\theta=\arcsin\!\left(\frac{4x}{5}\right).
Substituindo:
\sin\theta\cos\theta=\frac{4x}{5}\cdot\frac{\sqrt{25-16x^{2}}}{5} =\frac{4x\sqrt{25-16x^{2}}}{25}.
Logo a primitiva em x é
\frac{25}{128}\arcsin\!\left(\frac{4x}{5}\right) -\frac{25}{128}\cdot\frac{4x\sqrt{25-16x^{2}}}{25}+C.
Cancelando fatores onde possível, obtemos a forma simplificada
\frac{25}{128}\arcsin\!\left(\frac{4x}{5}\right) -\frac{x\sqrt{25-16x^{2}}}{32}+C.

Passo 6

Verificação rápida (idea): derivando a expressão obtida deve retornar \dfrac{x^{2}}{\sqrt{25-16x^{2}}}. Isso pode ser checado usando a derivada de \arcsin(u) e regra do produto; ao fazer a conta os termos combinam e o resultado dá exatamente a integranda, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{25}{128}\arcsin\!\left(\frac{4x}{5}\right)-\frac{x\sqrt{25-16x^{2}}}{32}+C

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