Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O problema pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e relevantes:
- A função integranda é
. - A expressão dentro da raiz impõe
, ou seja (isso é relevante se precisarmos justificar escolhas de sinais na substituição trigonométrica). - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função mais uma constante de integração
.
Passo 2
Motivação do método: a raiz tem a forma
, então uma substituição trigonométrica do tipo
simplifica a raiz para algo envolvendo
. Aqui
e
, portanto fazemos a substituição
Agora calculemos as quantidades necessárias:
e a raiz fica
onde escolhemos o arco de
tal que
(por exemplo
), o que é compatível com
.
Passo 3
Substituímos na integral cada termo em função de
. Temos
portanto a integral transforma-se em
Cancelando fatores e simplificando:
Logo a integral em
é
Passo 4
Precisamos integrar
. Usamos a identidade de redução (fórmula do ângulo duplo):
Então
Integramos termo a termo:
Portanto a primitiva em
é
Passo 5
Simplificamos
usando
. Assim
e a primitiva fica
Agora voltamos para a variável
. Da substituição temos
e
Substituindo:
Logo a primitiva em
é
Cancelando fatores onde possível, obtemos a forma simplificada
Passo 6
Verificação rápida (idea): derivando a expressão obtida deve retornar
. Isso pode ser checado usando a derivada de
e regra do produto; ao fazer a conta os termos combinam e o resultado dá exatamente a integranda, confirmando que a primitiva está correta.