Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{5 x-7}{x^{2}-2 x-3} d x
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int \frac{5x - 7}{x^{2} - 2x - 3}\,dx.
Este é um caso de integração de função racional e vamos usar a técnica de frações parciais, que exige fatorar o denominador antes de integrar.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{2} - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1).
Logo, podemos escrever
\frac{5x - 7}{x^{2} - 2x - 3} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 1}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x - 3)(x + 1)\), obtemos \[5x - 7 = A(x + 1) + B(x - 3) = (A + B)\,x + (A - 3B).
Comparando coeficientes de x e termo constante, gera-se o sistema
\begin{cases} A + B = 5,\\\ A - 3B = -7. \end{cases}
Resolvendo, achamos B=3\] e \(A=2.

Passo 4

Substituindo A e B na integral, temos
\int \frac{5x - 7}{x^{2} - 2x - 3}\,dx = \int \Bigl(\frac{2}{x - 3} + \frac{3}{x + 1}\Bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{2}{x - 3}\,dx = 2\ln\lvert x - 3\rvert, \quad \int \frac{3}{x + 1}\,dx = 3\ln\lvert x + 1\rvert.

Resposta

2\ln\lvert x - 3\rvert + 3\ln\lvert x + 1\rvert + C.

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