Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{9 x^{2}+2 x-2}{x(x-1)(x+2)} d x
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{9x^{2} + 2x - 2}{x(x - 1)(x + 2)} \,dx.
O conteúdo é decomposição em frações parciais de função racional. Para resolver, vamos escrever a fração como soma de termos simples e depois integrar cada termo.

Passo 2

Assumimos a decomposição
\frac{9x^{2} + 2x - 2}{x(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}.
Multiplicamos ambos os lados por x(x-1)(x+2) e obtemos
9x^{2} + 2x - 2 = A(x-1)(x+2) + B\,x(x+2) + C\,x(x-1).

Passo 3

Expandindo os produtos no lado direito:
A(x^{2} + x - 2) + B(x^{2} + 2x) + C(x^{2} - x) = (A+B+C)x^{2} + (A + 2B - C)x - 2A.
Igualando aos coeficientes de 9x^{2} + 2x - 2\), temos o sistema \[\begin{cases} A + B + C = 9,\\\ A + 2B - C = 2,\\\\ -2A = -2. \end{cases}
Da terceira equação vem (A = 1]. Substituindo nas duas primeiras:
1 + B + C = 9 \implies B + C = 8,
1 + 2B - C = 2 \implies 2B - C = 1.
Somando essas duas dá 3B = 9, logo B = 3; e C = 8 - B = 5.

Passo 4

Substituindo A=1, B=3, C=5 na decomposição, a integral vira
\int\Bigl(\frac{1}{x} + \frac{3}{x-1} + \frac{5}{x+2}\Bigr)\,dx = \int\frac{1}{x}\,dx + 3\int\frac{1}{x-1}\,dx + 5\int\frac{1}{x+2}\,dx.
Integrando termo a termo:
\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert,\quad \int\frac{1}{x-1}\,dx = \ln\lvert x-1\rvert,\quad \int\frac{1}{x+2}\,dx = \ln\lvert x+2\rvert.

Resposta

\int \frac{9x^{2} + 2x - 2}{x(x - 1)(x + 2)}\,dx = \ln\lvert x\rvert + 3\ln\lvert x-1\rvert + 5\ln\lvert x+2\rvert + C.

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