Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{5 x-7}{x^{2}-2 x-3} d x
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5x - 7}{x^{2} - 2x - 3}\,dx.
O conteúdo é integração de funções racionais, e vamos usar fatoração do denominador seguida de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador quadrático:
x^{2} - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1).
Em seguida, escrevemos a fração como soma de termos simples:
\frac{5x - 7}{(x - 3)(x + 1)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 1}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x - 3)(x + 1)\) e igualamos coeficientes: \[5x - 7 = A(x + 1) + B(x - 3) = (A + B)x + (A - 3B).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 5,\\\ A - 3B = -7, \end{cases}
resolvendo, obtemos B=3\] e \(A=2.

Passo 4

Substituindo na integral e integrando termo a termo:
\int \frac{5x - 7}{x^{2} - 2x - 3}\,dx = \int \Bigl(\frac{2}{x - 3} + \frac{3}{x + 1}\Bigr)\,dx = 2\int \frac{dx}{x - 3} + 3\int \frac{dx}{x + 1}
= 2\ln\bigl|x - 3\bigr| + 3\ln\bigl|x + 1\bigr| + C.

Resposta

2\ln\bigl|x - 3\bigr| + 3\ln\bigl|x + 1\bigr| + C.

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