Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{3 x-1}{x^{2}-x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3x-1}{x^{2}-x}\,dx.
Informações fornecidas: a função integranda é a razão de dois polinômios, com numerador 3x-1 e denominador x^{2}-x. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, escrevendo a resposta com a constante de integração C.

Passo 2

Primeira observação útil: fatorar o denominador para ver a estrutura da fração racional. Fatorando x^{2}-x temos
x^{2}-x = x(x-1).
Isso nos mostra que o denominador é o produto de dois fatores lineares distintos: x e x-1. Quando o denominador tem fatores lineares distintos, uma técnica prática é decompor a fração em frações parciais simples da forma \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}.

Passo 3

Vamos escrever a decomposição em frações parciais: suponha que existam constantes A e B tais que
\frac{3x-1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}.
Essa igualdade vale para todo x exceto onde a expressão não está definida ( x=0 e x=1). Nosso objetivo é determinar A e B.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x(x-1) (para eliminar denominadores) obtemos
3x-1 = A(x-1) + Bx.
Expandindo o lado direito:
3x-1 = Ax - A + Bx = (A+B)x - A.
Agora igualamos coeficientes do polinômio à esquerda com os do polinômio à direita.
Coeficiente de x: \;3 = A+B.
Termo constante: \;-1 = -A. Da segunda equação segue A = 1.
Substituindo A=1 na primeira equação obtemos 3 = 1 + B, logo B = 2.

Passo 5

Com A=1 e B=2, a decomposição fica
\frac{3x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x-1}.
Portanto a integral original se torna a soma de integrais mais simples:
\int \frac{3x-1}{x^{2}-x}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx + \int \frac{2}{x-1}\,dx.

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Lembretes importantes:
  • A primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x| porque \dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac{1}{x} para x\neq0.
  • A primitiva de \dfrac{1}{x-1} é \ln|x-1| porque \dfrac{d}{dx}\ln|x-1| = \dfrac{1}{x-1} para x\neq1.
  • Constantes multiplicativas saem da integral.
Assim,
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C_1,
\int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\ln|x-1| + C_2.
Somando (e juntando as constantes em uma única C) obtemos
\int \frac{3x-1}{x^{2}-x}\,dx = \ln|x| + 2\ln|x-1| + C.

Passo 7

Podemos opcionalmente combinar os logaritmos usando a propriedade \ln a + 2\ln b = \ln\big(a b^{2}\big). Assim uma forma equivalente é
\ln\big(|x|(x-1)^{2}\big) + C.
Ambas as formas estão corretas; a escolha depende de preferência de apresentação.

Passo 8

Verificação rápida (dica de prova): derivando a resposta \ln|x|+2\ln|x-1| obtemos
\frac{d}{dx}\big(\ln|x|+2\ln|x-1|\big)=\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}=\frac{(x-1)+2x}{x(x-1)}=\frac{3x-1}{x(x-1)},
que é exatamente a integranda original, então a primitiva está correta.

Resposta

\ln|x|+2\ln|x-1|+C

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