Calcule as seguintes integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações fornecidas: a função integranda é a razão de dois polinômios, com numerador
e denominador
. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, escrevendo a resposta com a constante de integração
.
Passo 2
Primeira observação útil: fatorar o denominador para ver a estrutura da fração racional. Fatorando
temos
Isso nos mostra que o denominador é o produto de dois fatores lineares distintos:
e
. Quando o denominador tem fatores lineares distintos, uma técnica prática é decompor a fração em frações parciais simples da forma
.
Passo 3
Vamos escrever a decomposição em frações parciais: suponha que existam constantes
e
tais que
Essa igualdade vale para todo
exceto onde a expressão não está definida (
e
). Nosso objetivo é determinar
e
.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
(para eliminar denominadores) obtemos
Expandindo o lado direito:
Agora igualamos coeficientes do polinômio à esquerda com os do polinômio à direita.
Coeficiente de
:
Termo constante:
Da segunda equação segue
.
Substituindo
na primeira equação obtemos
, logo
.
Passo 5
Com
e
, a decomposição fica
Portanto a integral original se torna a soma de integrais mais simples:
Passo 6
Agora integramos termo a termo. Lembretes importantes:
- A primitiva de
é porque para . - A primitiva de
é porque para . - Constantes multiplicativas saem da integral.
Assim,
Somando (e juntando as constantes em uma única
) obtemos
Passo 7
Podemos opcionalmente combinar os logaritmos usando a propriedade
. Assim uma forma equivalente é
Ambas as formas estão corretas; a escolha depende de preferência de apresentação.
Passo 8
Verificação rápida (dica de prova): derivando a resposta
obtemos
que é exatamente a integranda original, então a primitiva está correta.