Nos exercícios 7. a 10. a função real de variável real e definida por sua expressão analítica. Determine o seu domínio.
f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{|x|-2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função real de variável real dada por
f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{|x|-2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{|x|-2}.
  • A raiz aparece no denominador da fração.
  • O numerador é x^{2}, que está definido para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Regras que controlam quando a expressão é válida (coisa importante para domínio):
  1. Para que a raiz quadrada seja um número real, o radicando deve ser não-negativo; portanto precisamos de |x|-2\ge 0.
  2. Como a raiz está no denominador, o valor da raiz não pode ser zero (divisão por zero é proibida), então precisamos de \sqrt{|x|-2}\neq 0, o que equivale a exigir |x|-2>0.
    Juntando 1) e 2) vemos que a condição correta é a desigualdade estrita |x|-2>0.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a condição que define o domínio:
|x|-2>0.
Agora vamos resolver essa desigualdade envolvendo valor absoluto.

Passo 4

Para resolver |x|-2>0 uso a definição peça a peça do valor absoluto:
  • Se x\ge 0 então |x|=x. A desigualdade fica x-2>0, ou seja x>2.
  • Se x<0 então |x|=-x. A desigualdade fica -x-2>0, isto é -x>2. Multiplicando por -1 (lembrando de inverter o sinal da desigualdade) obtemos x<-2.

Passo 5

Combinando os dois ramos do valor absoluto obtemos as soluções x>2 ou x<-2. Em notação de intervalos isso é (-\infty,-2)\cup(2,\infty).
Verificação rápida dos pontos de fronteira: para x=2 ou x=-2 temos |x|-2=0, logo \sqrt{|x|-2}=0 e isso tornaria o denominador zero — logo esses pontos são excluídos. Para -2<x<2 o radicando é negativo e a raiz não é real — também excluído. Portanto apenas x<-2 e x>2 permanecem.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: o numerador x^{2} não impõe restrição; toda a restrição vem da raiz no denominador. Resultado simples e bonito: a função existe exatamente quando |x|>2. Confia que você entendeu: sempre verifique radicandos e denominadores primeiro!

Resposta

(-\infty,-2)\cup(2,\infty)

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