Nos exercícios 7. a 10. a função real de variável real e definida por sua expressão analítica. Determine o seu domínio.
f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{|x|-2}}
f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{|x|-2}}
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função real de variável real dada por
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão envolve uma raiz quadrada
. - A raiz aparece no denominador da fração.
- O numerador é
, que está definido para todo .
Passo 2
Regras que controlam quando a expressão é válida (coisa importante para domínio):
- Para que a raiz quadrada seja um número real, o radicando deve ser não-negativo; portanto precisamos de
. - Como a raiz está no denominador, o valor da raiz não pode ser zero (divisão por zero é proibida), então precisamos de
, o que equivale a exigir .
Juntando 1) e 2) vemos que a condição correta é a desigualdade estrita.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a condição que define o domínio:
Agora vamos resolver essa desigualdade envolvendo valor absoluto.
Passo 4
Para resolver
uso a definição peça a peça do valor absoluto:
- Se
então . A desigualdade fica , ou seja . - Se
então . A desigualdade fica , isto é . Multiplicando por (lembrando de inverter o sinal da desigualdade) obtemos .
Passo 5
Combinando os dois ramos do valor absoluto obtemos as soluções
ou
. Em notação de intervalos isso é
.
Verificação rápida dos pontos de fronteira: para ou
temos
, logo
e isso tornaria o denominador zero — logo esses pontos são excluídos. Para
o radicando é negativo e a raiz não é real — também excluído. Portanto apenas
e
permanecem.
Verificação rápida dos pontos de fronteira: para
Passo 6
Interpretação final e incentivo: o numerador
não impõe restrição; toda a restrição vem da raiz no denominador. Resultado simples e bonito: a função existe exatamente quando
. Confia que você entendeu: sempre verifique radicandos e denominadores primeiro!