Questão 4. Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge e explicar qual teste foi usado. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A soma começa em
. - O termo geral é
. - Para
temos (pois ), logo o argumento do é positivo e bem definido.
Passo 2
Vou calcular o limite do termo geral, porque existe um teste simples: se
então a série
diverge (teste do termo geral ou teste da divergência).
Primeiro uso que a função é contínua em
, então
Primeiro uso que a função
Agora calculemos o limite interior:
pois
. Portanto
Passo 3
Observação crucial:
(na verdade
). Pelo teste do termo geral (teste da divergência), se
então a série
não pode convergir. Logo a série dada diverge.
Passo 4
Para consolidar a intuição — alternativa equivalente — escrevemos o termo como
A segunda parcela
é equivalente a
quando
grande, então a soma dessa segunda parcela converge (comparação com a série
, que é convergente). Mas a soma de
repetida infinitas vezes diverge (é uma soma de constantes positivas), então a série total diverge — mesma conclusão do passo anterior.
Resposta
A série diverge (teste do termo geral, pois
).