Questão 4. Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Explique que teste você utilizou.
\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(\frac{5 n^{3}}{n^{3}-2 \pi}\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \ln\!\left(\frac{5 n^{3}}{n^{3}-2 \pi}\right)
converge ou diverge e explicar qual teste foi usado. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A soma começa em n=2.
  • O termo geral é a_n=\ln\!\left(\dfrac{5 n^{3}}{n^{3}-2 \pi}\right).
  • Para n\ge2 temos n^{3}-2\pi>0 (pois 2^{3}-2\pi=8-2\pi>0), logo o argumento do \ln é positivo e bem definido.

Passo 2

Vou calcular o limite do termo geral, porque existe um teste simples: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 então a série \sum a_n diverge (teste do termo geral ou teste da divergência).
Primeiro uso que a função \ln é contínua em (0,\infty), então
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \ln\!\left(\frac{5 n^{3}}{n^{3}-2 \pi}\right) = \ln\!\left(\lim_{n\to\infty}\frac{5 n^{3}}{n^{3}-2 \pi}\right).
Agora calculemos o limite interior:
\lim_{n\to\infty}\frac{5 n^{3}}{n^{3}-2 \pi} = \lim_{n\to\infty}\frac{5}{1-\dfrac{2\pi}{n^{3}}} =5,
pois \dfrac{2\pi}{n^{3}}\to0. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n=\ln(5).

Passo 3

Observação crucial: \ln(5)\neq0 (na verdade \ln(5)>0). Pelo teste do termo geral (teste da divergência), se \lim_{n\to\infty} a_n\neq0 então a série \sum_{n} a_n não pode convergir. Logo a série dada diverge.

Passo 4

Para consolidar a intuição — alternativa equivalente — escrevemos o termo como
a_n=\ln(5)+\Big[-\ln\!\big(1-\tfrac{2\pi}{n^{3}}\big)\Big].
A segunda parcela -\ln(1-2\pi/n^{3}) é equivalente a \tfrac{2\pi}{n^{3}}+O(n^{-6}) quando n grande, então a soma dessa segunda parcela converge (comparação com a série \sum n^{-3}, que é convergente). Mas a soma de \ln(5) repetida infinitas vezes diverge (é uma soma de constantes positivas), então a série total diverge — mesma conclusão do passo anterior.

Resposta

A série diverge (teste do termo geral, pois \lim_{n\to\infty}\ln\!\left(\dfrac{5 n^{3}}{n^{3}-2 \pi}\right)=\ln(5)\neq0).

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