Questão 2. Responda se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
O valor da soma da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n+1}}{5^{n}} é \frac{3}{7}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^{n+1}}{5^{n}}
e afirma que o valor da soma é \frac{3}{7}. A tarefa é decidir se essa afirmativa é verdadeira ou falsa e justificar.
As informações relevantes que temos: a expressão geral do termo da série é \frac{(-2)^{n+1}}{5^{n}} para n=1,2,3,\dots. O que se pede é verificar a soma dessa série e comparar com \frac{3}{7}.

Passo 2

Vamos examinar a forma do termo geral e tentar ver se a série é geométrica, porque séries geométricas têm fórmula de soma simples. Para isso, fatoramos o termo geral. Note que
\frac{(-2)^{n+1}}{5^{n}} = \frac{(-2)^{2}}{5}\left(\frac{-2}{5}\right)^{n-1}.

Passo 3

Da fatoração do passo anterior vemos que a série pode ser escrita como uma série geométrica da forma \sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}, com
a=\frac{4}{5} \qquad\text{e}\qquad r=-\frac{2}{5}.
(Verificação rápida: para n=1 o termo é \frac{4}{5}; para n=2 o termo é -\frac{8}{25}; a razão entre eles é -\frac{2}{5}.)

Passo 4

Agora uma breve aula sobre séries geométricas. Uma série geométrica de primeiro termo a e razão r é
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1} = a + ar + ar^{2} + \cdots.
O somatório parcial até N termos é
S_{N}=a+ar+\cdots+ar^{N-1}.
Multiplicando por 1-r e usando cancelamentos obtemos a fórmula do somatório parcial:
(1-r)S_{N}=a(1-r^{N}) \quad\Rightarrow\quad S_{N}=\frac{a(1-r^{N})}{1-r}.
Se |r|<1, então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, e a soma da série infinita é
S=\lim_{N\to\infty}S_{N}=\frac{a}{1-r}.
Aqui a é o primeiro termo da série e r é a razão; a condição |r|<1 garante convergência.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso: temos a=\frac{4}{5} e r=-\frac{2}{5}. Como \left|-\frac{2}{5}\right|=\frac{2}{5}<1, a série converge e sua soma é
S=\frac{a}{1-r}=\frac{\tfrac{4}{5}}{1-\left(-\tfrac{2}{5}\right)}.

Passo 6

Calculemos o valor numérico passo a passo:
1-\left(-\tfrac{2}{5}\right)=1+\tfrac{2}{5}=\tfrac{7}{5},
então
S=\frac{\tfrac{4}{5}}{\tfrac{7}{5}}=\frac{4}{7}.

Passo 7

Portanto o valor correto da soma da série é \frac{4}{7}. A afirmativa do enunciado dizia que a soma é \frac{3}{7}, o que não coincide com o valor que acabamos de obter. Logo a afirmativa é falsa.

Resposta

Falsa. A soma é \frac{4}{7}.

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