Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{3 x{2}-x{3}-2 x+1}{x{2}(x-1){2}} d x
.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{3x^{2}-x^{3}-2x+1}{x^{2}(x-1)^{2}}\,dx.
Isto é uma função racional própria (grau do numerador é 3 e do denominador é 4), então vamos usar decomposição em frações parciais para integrar.

Passo 2

Proponha a forma de frações parciais
\frac{3x^{2}-x^{3}-2x+1}{x^{2}(x-1)^{2}} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x-1)^{2} fica
3x^{2}-x^{3}-2x+1 = A\,x\,(x-1)^{2}+B\,(x-1)^{2}+C\,x^{2}(x-1)+D\,x^{2}.

Passo 3

Para achar B e D use valores convenientes de x:
  • Em x=0:
3\cdot0-0-0+1 = B\,(0-1)^{2}\quad\Longrightarrow\quad 1 = B\cdot1 \;\Rightarrow\; B=1.
  • Em x=1:
3-1-2+1 = D\cdot1^{2}\quad\Longrightarrow\quad 1 = D \;\Rightarrow\; D=1.

Passo 4

Para achar A\) e \(C\) compare coeficientes de potências de \(x\). Expandindo o lado direito e agrupando em \(x^{3},x^{2},x,1\), obtemos o sistema \[\begin{cases} A + C = -1,\\\\ -2A + B - C + D = 3,\\\ A - 2B = -2,\\\ B = 1. \end{cases}
Já sabemos B=1\] e \(D=1. Da terceira equação A -2\cdot1=-2 vem A=0.
Da primeira, 0 + C=-1 C=-1.

Passo 5

Assim a decomposição é
\frac{3x^{2}-x^{3}-2x+1}{x^{2}(x-1)^{2}} =\frac{0}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}} =\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}.
Integre termo a termo:
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx =\int x^{-2}\,dx =-x^{-1} =-\frac{1}{x},
\int -\frac{1}{x-1}\,dx =-\ln\bigl|x-1\bigr|,
\int \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx =\int (x-1)^{-2}\,dx =-(x-1)^{-1} =-\frac{1}{x-1}.

Resposta

\int \frac{3x^{2}-x^{3}-2x+1}{x^{2}(x-1)^{2}}\,dx =-\frac{1}{x}-\ln\bigl|x-1\bigr|-\frac{1}{x-1}+C.

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