Calcule as seguintes integrais:
\int \operatorname{sen}^{2} 2 \theta \cos 2 \theta d \theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin^2\!(2\theta)\,\cos(2\theta)\,d\theta.
O conteúdo envolvido é integração por substituição em uma função trigonométrica composta. Vamos usar a substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin(2\theta).
Diferenciando, temos
du = 2\cos(2\theta)\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad \cos(2\theta)\,d\theta = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \sin^2\!(2\theta)\,\cos(2\theta)\,d\theta = \int u^2 \,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^2\,du.

Passo 4

Agora integramos o polinômio em u:
\frac{1}{2}\int u^2\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^3}{3} + C = \frac{u^3}{6} + C.

Passo 5

Voltando à variável \theta, como u = \sin(2\theta), a antiderivada é
\frac{\sin^3\!(2\theta)}{6} + C.

Resposta

\int \sin^2\!(2\theta)\,\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{\sin^3\!(2\theta)}{6} + C.

Exercícios relacionados