Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{x}{x+3} d x=

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{x}{x+3}\,dx.
O conteúdo envolve integração de frações racionais por meio de divisão de polinômios e uso de logaritmos.

Passo 2

Para simplificar a integral, fazemos a divisão do polinômio no numerador pelo denominador:
\frac{x}{x+3} = 1 - \frac{3}{x+3}.

Passo 3

Substituímos na integral e separamos em duas partes conhecidas:
\int \frac{x}{x+3}\,dx = \int 1\,dx - 3\int \frac{1}{x+3}\,dx.
A primeira integral é \displaystyle \int 1\,dx = x,
e a segunda é \displaystyle \int \frac{1}{x+3}\,dx = \ln\bigl|x+3\bigr|.

Passo 4

Combinando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos a solução geral.

Resposta

x - 3\ln\bigl|x+3\bigr| + C

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