Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{3 x d x}{\sqrt{1+4 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3x}{\sqrt{1+4x^{2}}}\,dx.
O conteúdo aqui é o método de substituição, que serve para transformar uma integral numa forma mais simples.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + 4x^{2}.
Diferenciando, temos
du = 8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{8}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int \frac{3x}{\sqrt{1+4x^{2}}}\,dx = 3 \int x\,(1+4x^{2})^{-\tfrac12}\,dx = 3 \int u^{-\tfrac12}\,\frac{du}{8} = \frac{3}{8} \int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12} + C.
Logo,
\frac{3}{8} \int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{3}{8}\cdot2\,u^{\tfrac12} + C = \frac{3}{4}\,u^{\tfrac12} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, como u=1+4x^{2}, obtemos
\frac{3}{4}\,\sqrt{u} + C = \frac{3}{4}\,\sqrt{1+4x^{2}} + C.

Resposta

\frac{3}{4}\sqrt{1+4x^{2}} + C

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