Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a integranda é o produto de uma função polinomial em
(aqui
) e uma exponencial em
(aqui
). A pergunta é: achar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
.
Passo 2
Escolha do método: quando temos o produto de um polinômio (como
) por uma exponencial, o método mais direto é a integração por partes. Vou explicar a fórmula e o porquê: a fórmula da integração por partes é
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
multiplicada por
e
é a diferencial que integraremos para obter
. A ideia prática é escolher
como a parte que simplifica quando derivada (aqui escolhemos
) e
como a parte que é fácil de integrar (aqui escolhemos
).
Passo 3
Definimos explicitamente:
Então
Precisamos calcular
. Faço uma substituição simples para mostrar isso passo a passo: seja
. Então
. Assim
Portanto podemos tomar
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
obtemos
Agora calculamos a integral restante. Como já vimos,
. Então
Logo
Passo 5
Podemos fatorar para ficar mais compacto e verificar rapidamente por derivação:
Verificação por derivação (checar que a primitiva encontrada está correta): calcule a derivada de
. Usando a regra do produto e que
,
o que coincide com a integranda. Então a primitiva está correta. Força aí — essa técnica de partes aparece muito em provas e, com prática, fica natural.