Calcule as seguintes integrais:
\int \mathrm{r} e^{\mathrm{r} / 3} \mathrm{dr}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int r e^{r/3}\,dr.
Informações dadas: a integranda é o produto de uma função polinomial em r (aqui r) e uma exponencial em r (aqui e^{r/3}). A pergunta é: achar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(r) tal que F'(r)=r e^{r/3}.

Passo 2

Escolha do método: quando temos o produto de um polinômio (como r) por uma exponencial, o método mais direto é a integração por partes. Vou explicar a fórmula e o porquê: a fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções de r, du é a derivada de u multiplicada por dr e dv é a diferencial que integraremos para obter v. A ideia prática é escolher u como a parte que simplifica quando derivada (aqui escolhemos u=r) e dv como a parte que é fácil de integrar (aqui escolhemos dv=e^{r/3}\,dr).

Passo 3

Definimos explicitamente:
u = r,\qquad dv = e^{r/3}\,dr.
Então
du = dr.
Precisamos calcular v=\int dv=\int e^{r/3}\,dr. Faço uma substituição simples para mostrar isso passo a passo: seja \displaystyle t=\frac{r}{3}. Então \displaystyle dr=3\,dt. Assim
\int e^{r/3}\,dr = \int e^{t}\cdot 3\,dt = 3e^{t}+C = 3e^{r/3}+C.
Portanto podemos tomar
v = 3e^{r/3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int r e^{r/3}\,dr = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du obtemos
\int r e^{r/3}\,dr = r\cdot\bigl(3e^{r/3}\bigr) - \int \bigl(3e^{r/3}\bigr)\,dr.
Agora calculamos a integral restante. Como já vimos, \int e^{r/3}\,dr = 3e^{r/3}. Então
\int \bigl(3e^{r/3}\bigr)\,dr = 3\cdot\int e^{r/3}\,dr = 3\cdot\bigl(3e^{r/3}\bigr) = 9e^{r/3}.
Logo
\int r e^{r/3}\,dr = 3r e^{r/3} - 9e^{r/3} + C.

Passo 5

Podemos fatorar para ficar mais compacto e verificar rapidamente por derivação:
\int r e^{r/3}\,dr = 3e^{r/3}(r-3) + C.
Verificação por derivação (checar que a primitiva encontrada está correta): calcule a derivada de F(r)=3e^{r/3}(r-3). Usando a regra do produto e que \frac{d}{dr}e^{r/3}=\tfrac{1}{3}e^{r/3},
F'(r)=3\Bigl(e^{r/3} + (r-3)\cdot\tfrac{1}{3}e^{r/3}\Bigr)=3e^{r/3}+(r-3)e^{r/3}=r e^{r/3},
o que coincide com a integranda. Então a primitiva está correta. Força aí — essa técnica de partes aparece muito em provas e, com prática, fica natural.

Resposta

3r e^{r/3} - 9e^{r/3} + C

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