Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Enunciado: calcular a derivada da função
O que o problema pede: achar
.
Informações dadas importantes:
Informações dadas importantes:
- o integrando é
; - o limite inferior é
; - o limite superior é
.
Passo 2
Ferramenta principal (explicada): se tivermos uma função definida por uma integral com limites que dependem de
,
então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia, a derivada é
Intuição rápida: aumentar
desloca o ponto superior e o inferior; a contribuição do deslocamento do superior é o valor do integrando ali multiplicado pelo quanto esse ponto se desloca (
), e o inferior entra com sinal negativo porque mover o limite inferior para cima reduz a área.
Passo 3
Vamos identificar e derivar os limites da nossa função:
- limite superior
. Derivando, pela regra da exponencial,
- limite inferior
. Aqui aplicamos a regra da cadeia: primeiro , e há o sinal negativo na frente, então
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 com
,
,
:
Reescrevendo sem ainda simplificar a paridade do cosseno:
Uma observação útil (não obrigatória):
é uma função par, ou seja,
. Usando isso podemos trocar
por
, o que produz a forma mais elegante da derivada (veja
Passo 5
Resumo do raciocínio para a prova (dica prática): sempre identifique os limites que dependem de
, calcule suas derivadas (use regra da cadeia quando necessário) e aplique diretamente a fórmula
. Se o integrando tiver simetrias (como
ser par) aproveite para simplificar. Força aí — você consegue!