Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
\begin{aligned} & \text { g) } \int_{-e^{x^{2}}}^{e^{x}} \cos ^{2}(t) d t \end{aligned}

Passo 1

Enunciado: calcular a derivada da função
g(x)=\int_{-e^{x^{2}}}^{e^{x}} \cos^{2}(t)\,dt.
O que o problema pede: achar g'(x).
Informações dadas importantes:
  • o integrando é \cos^{2}(t);
  • o limite inferior é a(x)=-e^{x^{2}};
  • o limite superior é b(x)=e^{x}.

Passo 2

Ferramenta principal (explicada): se tivermos uma função definida por uma integral com limites que dependem de x,
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,
então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia, a derivada é
G'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)-f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Intuição rápida: aumentar x desloca o ponto superior e o inferior; a contribuição do deslocamento do superior é o valor do integrando ali multiplicado pelo quanto esse ponto se desloca ( b'(x)), e o inferior entra com sinal negativo porque mover o limite inferior para cima reduz a área.

Passo 3

Vamos identificar e derivar os limites da nossa função:
  • limite superior b(x)=e^{x}. Derivando, pela regra da exponencial,
b'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • limite inferior a(x)=-e^{x^{2}}. Aqui aplicamos a regra da cadeia: primeiro \frac{d}{dx}e^{x^{2}}=2x e^{x^{2}}, e há o sinal negativo na frente, então
a'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-e^{x^{2}}\bigr)=-2x e^{x^{2}}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 com f(t)=\cos^{2}(t), b(x)=e^{x}, a(x)=-e^{x^{2}}:
g'(x)=\cos^{2}\bigl(e^{x}\bigr)\,e^{x}-\cos^{2}\bigl(-e^{x^{2}}\bigr)\cdot\bigl(-2x e^{x^{2}}\bigr).
Reescrevendo sem ainda simplificar a paridade do cosseno:
g'(x)=\cos^{2}\bigl(e^{x}\bigr)\,e^{x}+2x e^{x^{2}}\,\cos^{2}\bigl(-e^{x^{2}}\bigr).
Uma observação útil (não obrigatória): \cos^{2}(u) é uma função par, ou seja, \cos^{2}(-u)=\cos^{2}(u). Usando isso podemos trocar \cos^{2}\bigl(-e^{x^{2}}\bigr) por \cos^{2}\bigl(e^{x^{2}}\bigr), o que produz a forma mais elegante da derivada (veja

Passo 5

Resumo do raciocínio para a prova (dica prática): sempre identifique os limites que dependem de x, calcule suas derivadas (use regra da cadeia quando necessário) e aplique diretamente a fórmula f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x). Se o integrando tiver simetrias (como \cos^{2} ser par) aproveite para simplificar. Força aí — você consegue!

Resposta

g'(x)=e^{x}\cos^{2}\bigl(e^{x}\bigr)+2x e^{x^{2}}\cos^{2}\bigl(e^{x^{2}}\bigr).

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