Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas:
- A integranda é
. - O limite inferior da integral é
(depende de ). - O limite superior da integral é
(constante). - A tarefa é calcular
.
Passo 2
Vou lembrar uma versão útil do Teorema Fundamental do Cálculo (com limites que dependem de
) e a regra da cadeia, explicando devagar:
- Se
, então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia,
Isto acontece porque a integral acumulada até
cresce com a taxa dada por
avaliada em
, multiplicada pela rapidez com que
muda (regra da cadeia).
- Se ao invés disso a integral tem o limite inferior dependente, ou seja
com constante, então
A razão do sinal negativo é que aumentar
encurta o intervalo de integração, diminuindo o valor da integral.
Passo 3
Existe também a fórmula geral, quando ambos os limites dependem de
:
Essa fórmula é apenas a combinação das ideias dos passos anteriores: contribuição do limite superior menos contribuição do limite inferior.
Passo 4
Agora identifique as partes da nossa função
comparando com a fórmula:
-
. - O limite superior é
(constante), então . - O limite inferior é
, que depende de .
Passo 5
Calcule
, usando a regra da cadeia para
:
- Primeiro observe que
. - Derivando: a derivada de
em função de é , e a derivada de é . - Portanto,
Passo 6
Aplique a fórmula geral do Passo 3:
Simplificando os termos:
-
. -
(do Passo 5).
Assim
Passo 7
Organize e escreva de forma bonita:
Se quiser, uma verificação rápida: poderia reescrever
e aplicar o caso padrão
obtendo o mesmo resultado com sinal negativo — confirma a consistência.