Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
\begin{aligned} & \text { f) } \int_{e^{x^{2}}}^{0} \cos ^{2}(t) d t \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
F(x)=\int_{e^{x^{2}}}^{0} \cos^{2}(t)\,dt.
Informações dadas:
  • A integranda é \cos^{2}(t).
  • O limite inferior da integral é \,e^{x^{2}} (depende de x).
  • O limite superior da integral é 0 (constante).
  • A tarefa é calcular \dfrac{d}{dx}F(x).

Passo 2

Vou lembrar uma versão útil do Teorema Fundamental do Cálculo (com limites que dependem de x) e a regra da cadeia, explicando devagar:
  • Se G(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt, então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia,
G'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).
Isto acontece porque a integral acumulada até g(x) cresce com a taxa dada por f avaliada em g(x), multiplicada pela rapidez com que g(x) muda (regra da cadeia).
  • Se ao invés disso a integral tem o limite inferior dependente, ou seja H(x)=\int_{h(x)}^{b} f(t)\,dt com b constante, então
H'(x)=-f(h(x))\cdot h'(x).
A razão do sinal negativo é que aumentar h(x) encurta o intervalo de integração, diminuindo o valor da integral.

Passo 3

Existe também a fórmula geral, quando ambos os limites dependem de x:
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f(b(x))\,b'(x) - f(a(x))\,a'(x).
Essa fórmula é apenas a combinação das ideias dos passos anteriores: contribuição do limite superior menos contribuição do limite inferior.

Passo 4

Agora identifique as partes da nossa função F(x) comparando com a fórmula:
  • f(t)=\cos^{2}(t).
  • O limite superior é b(x)=0 (constante), então b'(x)=0.
  • O limite inferior é a(x)=e^{x^{2}}, que depende de x.

Passo 5

Calcule a'(x), usando a regra da cadeia para a(x)=e^{x^{2}}:
  • Primeiro observe que a(x)=\exp(x^{2}).
  • Derivando: a derivada de \exp(u) em função de u é \exp(u), e a derivada de u=x^{2} é 2x.
  • Portanto,
a'(x)=\frac{d}{dx}e^{x^{2}} = e^{x^{2}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{2}}.

Passo 6

Aplique a fórmula geral do Passo 3:
\frac{d}{dx}\int_{e^{x^{2}}}^{0} \cos^{2}(t)\,dt = \cos^{2}(0)\cdot 0' - \cos^{2}\bigl(e^{x^{2}}\bigr)\cdot \bigl(e^{x^{2}}\bigr)'.
Simplificando os termos:
  • \cos^{2}(0)\cdot 0' = \cos^{2}(0)\cdot 0 = 0.
  • \bigl(e^{x^{2}}\bigr)' = 2x\,e^{x^{2}} (do Passo 5).
    Assim
\frac{d}{dx}\int_{e^{x^{2}}}^{0} \cos^{2}(t)\,dt = 0 - \cos^{2}\bigl(e^{x^{2}}\bigr)\cdot 2x\,e^{x^{2}}.

Passo 7

Organize e escreva de forma bonita:
\frac{d}{dx}\int_{e^{x^{2}}}^{0} \cos^{2}(t)\,dt = -2x\,e^{x^{2}}\,\cos^{2}\bigl(e^{x^{2}}\bigr).
Se quiser, uma verificação rápida: poderia reescrever \int_{e^{x^{2}}}^{0}=\,-\int_{0}^{e^{x^{2}}} e aplicar o caso padrão \frac{d}{dx}\int_{0}^{g(x)}f(t)\,dt=f(g(x))g'(x) obtendo o mesmo resultado com sinal negativo — confirma a consistência.

Resposta

-2x\,e^{x^{2}}\,\cos^{2}\bigl(e^{x^{2}}\bigr)

Exercícios relacionados