Calcule as seguintes integrais:
\int 7 \operatorname{sec} ^{2} x-\frac{6}{5 x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função cujo integrando é 7\operatorname{sec}^{2}x-\dfrac{6}{5x}.
Informações importantes dadas:
  • O integrando é \;7\operatorname{sec}^{2}x-\dfrac{6}{5x}\;.
  • Há uma singularidade em x=0 por causa do termo \dfrac{1}{x}; portanto a primitiva só faz sentido em intervalos onde x\neq0.

Passo 2

Usar a linearidade da integral: podemos separar a integral em duas e fatorar constantes. Assim,
\int\left(7\operatorname{sec}^{2}x-\frac{6}{5x}\right)\,dx =7\int\operatorname{sec}^{2}x\,dx-\frac{6}{5}\int\frac{1}{x}\,dx.
Explicação rápida da propriedade usada: a integral é linear, ou seja, \int (a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx para constantes a,b.

Passo 3

Calcular \displaystyle\int\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Lembrete/fato: a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Para ver isso rapidamente:
\frac{d}{dx}\tan x=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) =\frac{\cos x\cdot\cos x-(-\sin x)\cdot\sin x}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x} =\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}x é \tan x. Logo a primeira parcela dá
7\int\operatorname{sec}^{2}x\,dx=7\tan x + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração.

Passo 4

Calcular \displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx.
Lembrete/fato: a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} para x\neq0. Explicando brevemente: para x>0 tem-se \dfrac{d}{dx}\ln x = 1/x; para x<0 escrevendo \ln|x|=\ln(-x) e aplicando a regra da cadeia também dá 1/x. Assim uma primitiva de 1/x é \ln|x|. Portanto a segunda parcela vale
-\frac{6}{5}\int\frac{1}{x}\,dx=-\frac{6}{5}\ln|x| + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Passo 5

Juntando as duas primitivas parciais e lembrando que a soma de constantes C_{1}+C_{2} é apenas outra constante arbitrária C, obtemos a primitiva da integral original. Para conferir, basta derivar a primitiva e verificar que retorna o integrando.

Passo 6

Verificação rápida (sem escrever novamente a primitiva combinada):
  • A derivada de 7\tan x é 7\operatorname{sec}^{2}x.
  • A derivada de -\dfrac{6}{5}\ln|x| é -\dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{1}{x}.
    Somando essas derivadas volta-se exatamente ao integrando 7\operatorname{sec}^{2}x-\dfrac{6}{5x}, como desejado.

Resposta

7\tan x - \dfrac{6}{5}\ln|x| + C

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