Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função cujo integrando é
.
Informações importantes dadas:
Informações importantes dadas:
- O integrando é
. - Há uma singularidade em
por causa do termo ; portanto a primitiva só faz sentido em intervalos onde .
Passo 2
Usar a linearidade da integral: podemos separar a integral em duas e fatorar constantes. Assim,
Explicação rápida da propriedade usada: a integral é linear, ou seja,
para constantes
.
Passo 3
Calcular
.
Lembrete/fato: a derivada de é
. Para ver isso rapidamente:
Lembrete/fato: a derivada de
Portanto uma primitiva de
é
. Logo a primeira parcela dá
onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Calcular
.
Lembrete/fato: a derivada de é
para
. Explicando brevemente: para
tem-se
; para
escrevendo
e aplicando a regra da cadeia também dá
. Assim uma primitiva de
é
. Portanto a segunda parcela vale
Lembrete/fato: a derivada de
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Juntando as duas primitivas parciais e lembrando que a soma de constantes
é apenas outra constante arbitrária
, obtemos a primitiva da integral original. Para conferir, basta derivar a primitiva e verificar que retorna o integrando.
Passo 6
Verificação rápida (sem escrever novamente a primitiva combinada):
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Somando essas derivadas volta-se exatamente ao integrando, como desejado.