Esboce as curvas de nível das funções abaixo e classifique-as:
f(x, y)=x^{2}+2 y, nos níveis \mathrm{k}=1 e 2 .

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+2y e pede duas coisas para os níveis \mathrm{k}=1 e \mathrm{k}=2:
  • Esboçar as curvas de nível correspondentes.
  • Classificar cada uma dessas curvas (tipo de curva, posição, abertura, vértice, interceptos, etc.).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+2y.
  • Níveis a considerar: \mathrm{k}=1 e \mathrm{k}=2.

Passo 2

O que são curvas de nível (uma mini-aula):
Uma curva de nível para um valor \mathrm{k} é o conjunto de pontos (x,y) do plano que satisfazem
f(x,y)=\mathrm{k}.
Isto significa: para cada \mathrm{k} fixo, resolvemos a equação \,x^{2}+2y=\mathrm{k}\, e obtemos uma curva no plano. Para esboçar e classificar, normalmente isolamos y em função de x ou colocamos a equação na forma padrão de uma cônica.

Passo 3

Isolando y a partir de \,x^{2}+2y=\mathrm{k}\,:
2y=\mathrm{k}-x^{2}
y=-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{\mathrm{k}}{2}.
Explicando: essa é uma função quadrática de x (um polinômio do 2.º grau em x), da forma y=ax^{2}+b com a=-\tfrac{1}{2}<0. Geometricamente, no plano (x,y) isso representa uma parábola com:
  • eixo de simetria paralelo ao eixo y (especificamente o eixo x=0),
  • vértice no ponto onde x=0, isto é em \bigl(0,\tfrac{\mathrm{k}}{2}\bigr),
  • abertura para baixo (porque o coeficiente de x^{2} é negativo: -\tfrac{1}{2}),
  • domínio em x todo \mathbb{R} e imagem y\le \tfrac{\mathrm{k}}{2}.
Também podemos escrever na forma padrão de parábola com vértice deslocado. Reescrevendo a equação em forma de cônica:
x^{2}+2y=\mathrm{k}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=-2\bigl(y-\tfrac{\mathrm{k}}{2}\bigr).
Comparando com a forma x^{2}=4p(y-y_{0}), temos 4p=-2, logo p=-\tfrac{1}{2}. Isso dá informações sobre o foco e a diretriz se for necessário: foco em \bigl(0,\tfrac{\mathrm{k}}{2}+p\bigr)=\bigl(0,\tfrac{\mathrm{k}}{2}-\tfrac{1}{2}\bigr) e diretriz y=\tfrac{\mathrm{k}}{2}-p=\tfrac{\mathrm{k}}{2}+\tfrac{1}{2}. (Isso é um detalhe extra; para esboçar basta saber vértice, abertura e interceptos.)

Passo 4

Agora aplicamos para \mathrm{k}=1. Substituindo em y=-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{\mathrm{k}}{2} obtemos:
y=-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}.
Propriedades importantes para desenhar:
  • Vértice: \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr).
  • Eixo de simetria: x=0.
  • Abertura: para baixo (concavidade negativa).
  • Interseção com o eixo y: em x=0 temos y=\tfrac{1}{2}.
  • Interseção com o eixo x (solução de y=0): resolver -\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm1. Então cruza o eixo x em (1,0) e (-1,0).
  • Domínio: x\in\mathbb{R}. Faixa de y: y\le\tfrac{1}{2}.
Desenho prático (como fazer no papel): marque o vértice em (0,\tfrac{1}{2}), marque os pontos (-1,0) e (1,0), trace uma parábola simétrica em torno do eixo x=0 passando por esses pontos e abrindo para baixo.

Passo 5

Agora para \mathrm{k}=2. Substituindo:
y=-\tfrac{1}{2}x^{2}+1.
Propriedades:
  • Vértice: \bigl(0,1\bigr).
  • Eixo de simetria: x=0.
  • Abertura: para baixo.
  • Interseção com o eixo y: y=1 em x=0.
  • Interseção com o eixo x: resolver -\tfrac{1}{2}x^{2}+1=0\Rightarrow x^{2}=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}. Então cruza o eixo x em (\sqrt{2},0) e (-\sqrt{2},0).
  • Domínio: x\in\mathbb{R}. Faixa de y: y\le1.
Desenho prático: marque o vértice em (0,1), marque os pontos (\pm\sqrt{2},0) (aprox \pm1{,}414), e desenhe a parábola simétrica em torno de x=0 abrindo para baixo.

Passo 6

Comparação e comentários finais (dicas para a prova):
  • As duas curvas de nível são parábolas com a mesma “forma” (mesmo coeficiente -\tfrac{1}{2} em x^{2}), apenas deslocadas verticalmente: a parábola de \mathrm{k}=2 está acima da de \mathrm{k}=1 (vértices em y=1 e y=\tfrac{1}{2}, respectivamente).
  • Para desenhar qualquer nível \mathrm{k} rapidamente, basta usar a fórmula
y=-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{\mathrm{k}}{2},
colocar o vértice em \bigl(0,\tfrac{\mathrm{k}}{2}\bigr) e achar os zeros em x=\pm\sqrt{\mathrm{k}} (quando \mathrm{k}\ge0). Se \mathrm{k}<0 a parábola não cruza o eixo x (pois \sqrt{\mathrm{k}} não é real), mas a forma continua a mesma com vértice abaixo do eixo x.

Resposta

k=1: curva de nível é a parábola y=-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}. Vértice em (0,\tfrac{1}{2}), eixo x=0, abre para baixo, interceptos em (-1,0) e (1,0).
k=2: curva de nível é a parábola y=-\tfrac{1}{2}x^{2}+1. Vértice em (0,1), eixo x=0, abre para baixo, interceptos em (-\sqrt{2},0) e (\sqrt{2},0).

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