Esboce as curvas de nível das funções abaixo e classifique-as:
, nos níveis
e 2 .
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas para os níveis
e
:
- Esboçar as curvas de nível correspondentes.
- Classificar cada uma dessas curvas (tipo de curva, posição, abertura, vértice, interceptos, etc.).
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Níveis a considerar:
e .
Passo 2
O que são curvas de nível (uma mini-aula):
Uma curva de nível para um valor é o conjunto de pontos
do plano que satisfazem
Uma curva de nível para um valor
Isto significa: para cada
fixo, resolvemos a equação
e obtemos uma curva no plano. Para esboçar e classificar, normalmente isolamos
em função de
ou colocamos a equação na forma padrão de uma cônica.
Passo 3
Isolando
a partir de
:
Explicando: essa é uma função quadrática de
(um polinômio do 2.º grau em
), da forma
com
. Geometricamente, no plano
isso representa uma parábola com:
- eixo de simetria paralelo ao eixo
(especificamente o eixo ), - vértice no ponto onde
, isto é em , - abertura para baixo (porque o coeficiente de
é negativo: ), - domínio em
todo e imagem .
Também podemos escrever na forma padrão de parábola com vértice deslocado. Reescrevendo a equação em forma de cônica:
Comparando com a forma
, temos
, logo
. Isso dá informações sobre o foco e a diretriz se for necessário: foco em
e diretriz
. (Isso é um detalhe extra; para esboçar basta saber vértice, abertura e interceptos.)
Passo 4
Agora aplicamos para
. Substituindo em
obtemos:
Propriedades importantes para desenhar:
- Vértice:
. - Eixo de simetria:
. - Abertura: para baixo (concavidade negativa).
- Interseção com o eixo
: em temos . - Interseção com o eixo
(solução de ): resolver . Então cruza o eixo em e . - Domínio:
. Faixa de : .
Desenho prático (como fazer no papel): marque o vértice em
, marque os pontos
e
, trace uma parábola simétrica em torno do eixo
passando por esses pontos e abrindo para baixo.
Passo 5
Agora para
. Substituindo:
Propriedades:
- Vértice:
. - Eixo de simetria:
. - Abertura: para baixo.
- Interseção com o eixo
: em . - Interseção com o eixo
: resolver . Então cruza o eixo em e . - Domínio:
. Faixa de : .
Desenho prático: marque o vértice em
, marque os pontos
(aprox
), e desenhe a parábola simétrica em torno de
abrindo para baixo.
Passo 6
Comparação e comentários finais (dicas para a prova):
- As duas curvas de nível são parábolas com a mesma “forma” (mesmo coeficiente
em ), apenas deslocadas verticalmente: a parábola de está acima da de (vértices em e , respectivamente). - Para desenhar qualquer nível
rapidamente, basta usar a fórmula
colocar o vértice em
e achar os zeros em
(quando
). Se
a parábola não cruza o eixo
(pois
não é real), mas a forma continua a mesma com vértice abaixo do eixo
.
Resposta
k=1: curva de nível é a parábola
. Vértice em
, eixo
, abre para baixo, interceptos em
e
.
k=2: curva de nível é a parábola
. Vértice em
, eixo
, abre para baixo, interceptos em
e
.