1^{\text {a }} Um experimento foi conduzido no delineamento inteiramente casualizado com duas repetições, com o objetivo de controlar ninfas (formas jovens) de cigarrinhas (Deois flavopicta) das pastagens através do uso de inseticidas e do manejo (modos de aplicação, em tempo após corte). Os valores obtidos da porcentagem de eficiência do controle químico foram:
Manejo Repetição Inseticidas
(Dias após corte) Decis FW Mipcin 4G Mipcin 2GF
1 dia 1 53 58 80
2 57 64 84
8 dias 1 55 28 47
2 66 32 51
15 dias 1 35 77 55
2 42 81 62
A) Determine o modelo estatístico. (0,5 pontos)
a) Faça a análise de variância, teste de médias e interpretação dos resultados. (5,5 pontos)

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado pede:
    1. Determinar o modelo estatístico utilizado.
    2. Fazer a análise de variância (ANOVA), testar médias e interpretar os resultados (decidir quais diferenças são significativas e o que isso significa na prática).
  • Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado). São observações da porcentagem de eficiência de controle para combinações de dois fatores:
    • Fator A (Manejo, dias após corte) com a=3 níveis: 1 dia, 8 dias, 15 dias.
    • Fator B (Inseticidas) com b=3 níveis: Decis FW, Mipcin 4G, Mipcin 2GF.
    • Repetições por combinação: r=2. Total de observações N= a\cdot b \cdot r = 3\cdot3\cdot2 = 18.
  • Os dados (organizados por manejo \times inseticida, cada célula com duas repetições):
    • Manejo 1 dia: Decis: 53,\,57; Mipcin 4G: 58,\,64; Mipcin 2GF: 80,\,84.
    • Manejo 8 dias: Decis: 55,\,66; Mipcin 4G: 28,\,32; Mipcin 2GF: 47,\,51.
    • Manejo 15 dias: Decis: 35,\,42; Mipcin 4G: 77,\,81; Mipcin 2GF: 55,\,62.

Passo 2

Definição do modelo estatístico (parte A do enunciado).
  • Como é um delineamento inteiramente casualizado com dois fatores fixos e repetições, o modelo completo com interação é:
y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \varepsilon_{ijk},
onde
  • y_{ijk} é a observação da eficiência para o i-ésimo nível de manejo, j-ésimo inseticida e k-ésima repetição,
  • \mu é a média geral,
  • \alpha_i é o efeito do i-ésimo nível de manejo ( i=1,2,3),
  • \beta_j é o efeito do j-ésimo inseticida ( j=1,2,3),
  • (\alpha\beta)_{ij} é o efeito de interação manejo \times inseticida,
  • \varepsilon_{ijk} são os erros experimentais assumidos independentes e identicamente distribuídos \sim N(0,\sigma^2).
Essa é a resposta objetiva para a parte A.

Passo 3

Preparação de somas, médias e totais (cálculos preliminares que vamos usar na ANOVA).
  • Totais por manejo (peguei somas dos valores da tabela):
    • T_{1\cdot\cdot} = 396 (para manejo 1 dia),
    • T_{2\cdot\cdot} = 279 (para manejo 8 dias),
    • T_{3\cdot\cdot} = 352 (para manejo 15 dias).
  • Totais por inseticida:
    • T_{\cdot1\cdot} = 308 (Decis),
    • T_{\cdot2\cdot} = 340 (Mipcin 4G),
    • T_{\cdot3\cdot} = 379 (Mipcin 2GF).
  • Totais por célula (manejo \times inseticida), cada um com r=2 observações (peguei somas das duplas da tabela):
    • Linha manejo 1: T_{11}=110,\; T_{12}=122,\; T_{13}=164.
    • Linha manejo 2: T_{21}=121,\; T_{22}=60,\; T_{23}=98.
    • Linha manejo 3: T_{31}=77,\; T_{32}=158,\; T_{33}=117.
  • Total geral:
    G = \sum y_{ijk} = 1027,\qquad \bar{y}_{\bullet\bullet\bullet} = \frac{G}{N} = \frac{1027}{18} \approx 57{,}0556.

Passo 4

Cálculo da soma total de quadrados (SSTotal) e do termo de correção.
  • Soma dos quadrados das observações (calculei as quadraturas de cada valor e somei): \sum y_{ijk}^2 = 63321.
  • Correção C = \dfrac{G^2}{N} = \dfrac{1027^2}{18} = 58596{,}0556.
  • Soma total de quadrados:
\mathrm{SS}_{\text{Total}} = \sum y_{ijk}^2 - C = 63321 - 58596{,}0556 = 4724{,}9444.
  • Graus de liberdade total: N-1 = 18-1 = 17.

Passo 5

Cálculo da soma de quadrados do fator Manejo ( \mathrm{SS}_A).
  • Fórmula (com tamanhos iguais por nível): \displaystyle \mathrm{SS}_A = \sum_{i=1}^{a} \frac{T_{i\cdot\cdot}^2}{n_i} - C, onde n_i é o número de observações no nível i. Aqui n_i = b\cdot r = 3\cdot2 = 6.
  • Cálculo:
\mathrm{SS}_A = \frac{396^2}{6} + \frac{279^2}{6} + \frac{352^2}{6} - C = 59760{,}1667 - 58596{,}0556 = 1164{,}1111.
  • Graus de liberdade: a-1 = 3-1 = 2.

Passo 6

Cálculo da soma de quadrados do fator Inseticida ( \mathrm{SS}_B).
  • Fórmula: \displaystyle \mathrm{SS}_B = \sum_{j=1}^{b} \frac{T_{\cdot j\cdot}^2}{n_j} - C, com n_j = a\cdot r = 3\cdot2 = 6.
  • Cálculo:
\mathrm{SS}_B = \frac{308^2}{6} + \frac{340^2}{6} + \frac{379^2}{6} - C = 59017{,}5 - 58596{,}0556 = 421{,}4444.
  • Graus de liberdade: b-1 = 3-1 = 2.

Passo 7

Cálculo da soma de quadrados da interação ( \mathrm{SS}_{AB}).
  • Primeiro calculei \sum_{i,j} \dfrac{T_{ij}^2}{r} com r=2:
\sum_{i,j}\frac{T_{ij}^2}{r} = 63153{,}5.
  • A soma de quadrados total das células (efeitos principais + interação) é \sum_{i,j}\dfrac{T_{ij}^2}{r} - C = 63153{,}5 - 58596{,}0556 = 4557{,}4444.
  • Então
\mathrm{SS}_{AB} = \bigg(\sum_{i,j}\frac{T_{ij}^2}{r} - C\bigg) - \mathrm{SS}_A - \mathrm{SS}_B = 4557{,}4444 - 1164{,}1111 - 421{,}4444 = 2971{,}8889.
  • Graus de liberdade: (a-1)(b-1) = 2\cdot2 = 4.

Passo 8

Cálculo da soma de quadrados do erro (SSE) e verificação.
  • Pelo balanço:
\mathrm{SSE} = \mathrm{SS}_{\text{Total}} - (\mathrm{SS}_A + \mathrm{SS}_B + \mathrm{SS}_{AB}) = 4724{,}9444 - 4557{,}4444 = 167{,}5.
  • Também pode ser obtida somando as variações dentro de cada célula (com r=2 cada célula): calculei isso e deu 167{,}5 (confirmação).
  • Graus de liberdade do erro: a b (r-1) = 3\cdot3\cdot(2-1)=9.
  • MS do erro: \mathrm{MS}_E = \dfrac{\mathrm{SSE}}{\text{df}_E} = \dfrac{167{,}5}{9} = 18{,}6111.

Passo 9

Construção da tabela ANOVA (valores calculados).
  • Resumo (arredondando razoavelmente):
\begin{array}{lcccc} \text{Fonte} & \text{SS} & \text{df} & \text{MS} & F \\\ \hline \text{Manejo (A)} & 1164{,}1111 & 2 & 582{,}0556 & \dfrac{582{,}0556}{18{,}6111} \approx 31{,}29 \\\ \text{Inseticida (B)} & 421{,}4444 & 2 & 210{,}7222 & \dfrac{210{,}7222}{18{,}6111} \approx 11{,}32 \\\ \text{Interação (A}\times\text{B)} & 2971{,}8889 & 4 & 742{,}9722 & \dfrac{742{,}9722}{18{,}6111} \approx 39{,}92 \\\ \text{Erro} & 167{,}5 & 9 & 18{,}6111 & \\\ \hline \text{Total} & 4724{,}9444 & 17 & & \\\ \end{array}

Passo 10

Teste F e conclusão global (significância dos efeitos).
  • Valores críticos de F a 5\%:
    • Para \text{df}_1=2,\\ \text{df}_2=9, F_{0{,}05;2,9}\approx 4{,}26.
    • Para \text{df}_1=4,\\ \text{df}_2=9, F_{0{,}05;4,9}\approx 3{,}48.
  • Comparando:
    • F_A \approx 31{,}29 > 4{,}26 \Rightarrow o efeito do manejo é significativo a 5\%.
    • F_B \approx 11{,}32 > 4{,}26 \Rightarrow o efeito do inseticida é significativo a 5\%.
    • F_{AB} \approx 39{,}92 > 3{,}48 \Rightarrow a interação manejo \times inseticida é altamente significativa a 5\%.
  • Interpretação prática: como a interação é significativa, os efeitos principais (diferenças médias entre manejos e entre inseticidas) dependem um do outro. Ou seja, o melhor inseticida depende do manejo (tempo após corte) e vice-versa. Portanto, devemos inspecionar as médias das células (efeitos simples) e fazer comparações por combinação manejo \times inseticida.

Passo 11

Cálculo das médias por célula e pelas margens (para interpretar a interação).
  • Médias por célula (cada média é soma da célula dividido por r=2):
    • Manejo 1 dia:
      • Decis: \bar{y}_{11\bullet} = 110/2 = 55.
      • Mipcin 4G: \bar{y}_{12\bullet} = 122/2 = 61.
      • Mipcin 2GF: \bar{y}_{13\bullet} = 164/2 = 82.
    • Manejo 8 dias:
      • Decis: \bar{y}_{21\bullet} = 121/2 = 60{,}5.
      • Mipcin 4G: \bar{y}_{22\bullet} = 60/2 = 30.
      • Mipcin 2GF: \bar{y}_{23\bullet} = 98/2 = 49.
    • Manejo 15 dias:
      • Decis: \bar{y}_{31\bullet} = 77/2 = 38{,}5.
      • Mipcin 4G: \bar{y}_{32\bullet} = 158/2 = 79.
      • Mipcin 2GF: \bar{y}_{33\bullet} = 117/2 = 58{,}5.
  • Médias marginais (ja calculadas antes):
    • Por manejo: \bar{y}_{1\bullet\bullet}=66,\\ \bar{y}_{2\bullet\bullet}=46{,}5,\\ \bar{y}_{3\bullet\bullet}=58{,}6667.
    • Por inseticida: \bar{y}_{\bullet1\bullet}=51{,}3333,\\ \bar{y}_{\bullet2\bullet}=56{,}6667,\\ \bar{y}_{\bullet3\bullet}=63{,}1667.

Passo 12

Teste de médias (comparações) dentro das combinações: procedimento prático com LSD.
  • Como a interação é significativa, faz sentido comparar médias entre inseticidas dentro de cada manejo (efeitos simples). Vou usar o teste LSD (diferença mínima significativa) com \alpha=0{,}05 para diferenças de médias par a par. Explico a fórmula:
    • Erro padrão da diferença entre duas médias com mesma replicação r:
    \mathrm{SE}_{\text{dif}} = \sqrt{2\cdot \frac{\mathrm{MS}_E}{r}}.
    • Com \mathrm{MS}_E = 18{,}6111 e r=2:
    \mathrm{SE}_{\text{dif}} = \sqrt{2\cdot \frac{18{,}6111}{2}} = \sqrt{18{,}6111} \approx 4{,}315.
    • Para LSD usamos t-crítico com \text{df}=9: t_{0{,}025;9}\approx 2{,}262.
    • Então
    \mathrm{LSD} = t_{0{,}025;9}\cdot \mathrm{SE}_{\text{dif}} \approx 2{,}262\cdot 4{,}315 \approx 9{,}76.
    • Conclusão prática: duas médias diferem significativamente a 5\% se a diferença absoluta for >\!9{,}76.

Passo 13

Aplicando LSD nas médias das células (comparações por manejo).
  • Manejo 1 dia — médias: Decis 55, Mipcin 4G 61, Mipcin 2GF 82.
    • Diferenças:
      • Mipcin 2GF vs Mipcin 4G: 82-61 = 21 > 9{,}76 \Rightarrow significativa.
      • Mipcin 2GF vs Decis: 82-55 = 27 > 9{,}76 \Rightarrow significativa.
      • Mipcin 4G vs Decis: 61-55 = 6 < 9{,}76 \Rightarrow não significativa.
    • Interpretação: no manejo 1 dia, Mipcin 2GF é claramente superior; Decis e Mipcin 4G não diferem entre si.
  • Manejo 8 dias — médias: Decis 60{,}5, Mipcin 4G 30, Mipcin 2GF 49.
    • Diferenças:
      • Decis vs Mipcin 4G: 60{,}5-30 = 30{,}5 > 9{,}76 \Rightarrow significativa.
      • Decis vs Mipcin 2GF: 60{,}5-49 = 11{,}5 > 9{,}76 \Rightarrow significativa.
      • Mipcin 2GF vs Mipcin 4G: 49-30 = 19 > 9{,}76 \Rightarrow significativa.
    • Interpretação: no manejo 8 dias, Decis é o melhor, seguido por Mipcin 2GF, e Mipcin 4G é o pior.
  • Manejo 15 dias — médias: Decis 38{,}5, Mipcin 4G 79, Mipcin 2GF 58{,}5.
    • Diferenças:
      • Mipcin 4G vs Decis: 79-38{,}5 = 40{,}5 > 9{,}76 \Rightarrow significativa.
      • Mipcin 4G vs Mipcin 2GF: 79-58{,}5 = 20{,}5 > 9{,}76 \Rightarrow significativa.
      • Mipcin 2GF vs Decis: 58{,}5-38{,}5 = 20 > 9{,}76 \Rightarrow significativa.
    • Interpretação: no manejo 15 dias, Mipcin 4G é o melhor, Mipcin 2GF intermediário, Decis o pior.

Passo 14

Interpretação final e recomendações práticas (com tom motivador).
  • A interação manejo \times inseticida é significativa e bastante forte. Isso significa que não existe um único inseticida “melhor” para todos os tempos após corte; a escolha do inseticida depende do momento do manejo:
    • Para 1 dia após corte: o melhor é Mipcin 2GF (média 82\%), significativamente melhor que os outros.
    • Para 8 dias após corte: o melhor é Decis (média 60{,}5\%), seguido por Mipcin 2GF; Mipcin 4G tem baixa eficiência neste tempo.
    • Para 15 dias após corte: o melhor é Mipcin 4G (média 79\%), depois Mipcin 2GF, e Decis tem a menor eficiência.
  • Portanto, a recomendação prática (com base nesses dados) é escolher o inseticida considerando o tempo pós-corte: usar Mipcin 2GF para tratamento muito precoce (1 dia), Decis em torno de 8 dias e Mipcin 4G quando o tratamento for em 15 dias.

Resposta

\displaystyle y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijk}.
Efeitos significativos a 5\%: Manejo ( F\approx31{,}29), Inseticida ( F\approx11{,}32) e Interação ( F\approx39{,}92).
Comparações por manejo (LSD \approx 9{,}76):
  • 1 dia: Mipcin 2GF ( 82\%) > Mipcin 4G \approx Decis (estas duas não diferem).
  • 8 dias: Decis ( 60{,}5\%) > Mipcin 2GF ( 49\%) > Mipcin 4G ( 30\%).
  • 15 dias: Mipcin 4G ( 79\%) > Mipcin 2GF ( 58{,}5\%) > Decis ( 38{,}5\%).

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