Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{\pi} \cos ^{3} x \operatorname{sen} x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \cos^{3}x\,\sin x\,dx.
Informações dadas: o integrando é \cos^{3}x\,\sin x e os limites de integração são x=0 e x=\pi. A missão é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Estratégia e substituição: uma técnica comum quando aparece \sin x multiplicando uma potência de \cos x é fazer a substituição
u=\cos x.
Agora expliquei o porquê: se u=\cos x, então a derivada de u em relação a x é du/dx=-\sin x, ou seja,
du = -\sin x\,dx.
Isso é útil porque o fator \sin x\,dx do integrando aparece e pode ser trocado por -du. Também é preciso transformar os limites de integração conforme essa substituição: quando x=0 temos u=\cos 0=1; quando x=\pi temos u=\cos\pi=-1.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral:
\int_{0}^{\pi} \cos^{3}x\,\sin x\,dx = \int_{x=0}^{x=\pi} u^{3}\,(\sin x\,dx) = \int_{u=1}^{u=-1} u^{3}\,(-du).
Tirando o sinal negativo:
\int_{u=1}^{u=-1} u^{3}\,(-du) = -\int_{1}^{-1} u^{3}\,du = \int_{-1}^{1} u^{3}\,du.
Agora calculamos a primitiva de u^{3}: uma antiderivada é \dfrac{u^{4}}{4}. Avaliando nos limites -1 e 1 obtemos
\left.\dfrac{u^{4}}{4}\right|_{u=-1}^{u=1} = \dfrac{1^{4}-(-1)^{4}}{4}.

Passo 4

Observação alternativa (intuitiva): a função u\mapsto u^{3} é uma função ímpar, e integrar uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, [-1,1], leva a cancelamento das áreas positiva e negativa. Por isso a integral de \int_{-1}^{1} u^{3}\,du resulta em um número nulo quando avaliada (isso é consistente com o cálculo direto feito no passo anterior, que levou à expressão \dfrac{1^{4}-(-1)^{4}}{4}).

Resposta

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