Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{\ln 2} e^{2 x} d x;

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral definida
\int_{0}^{\ln 2} e^{2x}\,dx.
Informações dadas: o integrando é \,e^{2x}\, e os limites de integração são x=0 (inferior) e x=\ln 2 (superior). A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Vamos recordar e entender a regra básica que usamos aqui: a derivada da função exponencial composta \,e^{a x}\, é \,a e^{a x}\,. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(e^{a x}\big)=a e^{a x},
onde a é uma constante. Isso é fácil de ver porque a derivada de e^{u} é e^{u} multiplicada pela derivada de u; aqui u=ax tem derivada a.

Passo 3

A partir disso, conseguimos obter uma primitiva (antiderivada) de \,e^{2x}\,. Procuramos uma função F(x) tal que F'(x)=e^{2x}. Pela regra do passo anterior, sabemos que
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)=\frac{1}{2}\cdot 2 e^{2x}=e^{2x}.
Portanto uma primitiva é F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}.

Passo 4

Para integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui f(x)=e^{2x}, F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}, a=0 e b=\ln 2. Assim
\int_{0}^{\ln 2} e^{2x}\,dx = \left.\frac{1}{2}e^{2x}\right|_{0}^{\ln 2} = \frac{1}{2}e^{2\ln 2} - \frac{1}{2}e^{0}.

Passo 5

Agora simplificamos os termos: use a propriedade dos logaritmos/exponenciais e^{2\ln 2} = e^{\ln(2^2)} = 2^2 = 4. E e^{0}=1. Substituindo:
\frac{1}{2}e^{2\ln 2} - \frac{1}{2}e^{0} = \frac{1}{2}\cdot 4 - \frac{1}{2}\cdot 1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Resposta

\frac{3}{2}

Exercícios relacionados