Calcule as seguintes integrais: \int_{0}^{\ln 2} e^{2 x} d x;
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral definida
\int_{0}^{\ln 2} e^{2x}\,dx.
Informações dadas: o integrando é \,e^{2x}\, e os limites de integração são x=0 (inferior) e x=\ln 2 (superior). A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Vamos recordar e entender a regra básica que usamos aqui: a derivada da função exponencial composta \,e^{a x}\, é \,a e^{a x}\,. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(e^{a x}\big)=a e^{a x},
onde a é uma constante. Isso é fácil de ver porque a derivada de e^{u} é e^{u} multiplicada pela derivada de u; aqui u=ax tem derivada a.
Passo 3
A partir disso, conseguimos obter uma primitiva (antiderivada) de \,e^{2x}\,. Procuramos uma função F(x) tal que F'(x)=e^{2x}. Pela regra do passo anterior, sabemos que