Mostre, usando integração, que as equações do movimento de uma partícula cuja aceleração é constante (isto é, s^{\prime \prime}(t)=a ) são:
v=s^{\prime}(t)=v(0)+a t \quad \text { e } \quad d=s(t)-s(0)=v(0) t+\frac{a t^{2}}{2}

Passo 1

O enunciado dá que a aceleração é constante e vale \;s''(t)=a\; para todo t. As informações relevantes são:
  • \;s''(t)=a\; (aceleração constante).
  • \;v(t)=s'(t)\; é a velocidade em função do tempo.
  • \;v(0)\; é a velocidade inicial (valor da velocidade em t=0).
  • \;s(0)\; é a posição inicial (valor da posição em t=0).
O que o problema pede:
  • Mostrar que \;v=s'(t)=v(0)+a t\;.
  • Mostrar que \;d=s(t)-s(0)=v(0)t+\dfrac{a t^{2}}{2}\;.

Passo 2

Entendendo integração (rapidamente e sem mistério): integração indefinida é a operação inversa da derivada. Se conhecemos a derivada de uma função e queremos recuperar a função, procuramos uma antiderivada. Toda antiderivada tem uma constante arbitrária \;C\; porque derivar uma constante dá zero.
Aplicando isso à aceleração: como \;s''(t)=a\; e a é constante, uma antiderivada de \;a\; em relação a t é \;at\;. Logo a velocidade v(t)=s'(t) é dada por uma integral indefinida:
v(t)=\int a\,dt = a t + C_1,
onde \;C_1\; é a constante de integração. Agora usamos a condição inicial para determinar \;C_1\;: ao colocar t=0 temos \;v(0)=a\cdot 0 + C_1 = C_1. Portanto \;C_1=v(0)\; e assim
v(t)=v(0)+a t.
Para checar (ufa, sempre bom verificar): derivando \;v(t)=v(0)+a t\; obtemos \;v'(t)=a\;, que é exatamente \;s''(t)\;. Perfeito.

Passo 3

Agora vamos obter a posição s(t) integrando a velocidade. Sabemos que \;s'(t)=v(t)=v(0)+a t\;. Tomamos a antiderivada em relação a t:
s(t)=\int \big(v(0)+a t\big)\,dt = \int v(0)\,dt + \int a t\,dt.
Calculemos cada integral: \int v(0)\,dt = v(0)\,t porque v(0) é constante; e \int a t\,dt = a\cdot \dfrac{t^{2}}{2} porque a antiderivada de t é \dfrac{t^{2}}{2}. Incluímos a constante de integração \;C_2\;:
s(t)=v(0)\,t+\frac{a t^{2}}{2}+C_2.
Determinamos \;C_2\; usando a posição inicial: em t=0,
s(0)=v(0)\cdot 0 + \frac{a\cdot 0^{2}}{2} + C_2 = C_2,
portanto \;C_2=s(0)\;. Assim
s(t)=s(0)+v(0)\,t+\frac{a t^{2}}{2}.

Passo 4

Finalmente, a deslocamento (ou distância percorrida relativa à posição inicial) é a diferença entre s(t) e s(0). Subtraindo s(0) de ambos os lados da expressão acima, obtemos
d=s(t)-s(0)=v(0)\,t+\frac{a t^{2}}{2}.
Podemos também verificar rapidamente: derivando s(t) obtemos s'(t)=v(0)+a t e derivando novamente obtemos s''(t)=a, retornando à aceleração constante dada — tudo consistente.

Resposta

v=s'(t)=v(0)+a t\n
d=s(t)-s(0)=v(0)t+\dfrac{a t^{2}}{2}

Exercícios relacionados