Mostre, usando integração, que as equações do movimento de uma partícula cuja aceleração é constante (isto é,
) são:
Passo 1
O enunciado dá que a aceleração é constante e vale
para todo
. As informações relevantes são:
-
(aceleração constante). -
é a velocidade em função do tempo. -
é a velocidade inicial (valor da velocidade em ). -
é a posição inicial (valor da posição em ).
O que o problema pede:
- Mostrar que
. - Mostrar que
.
Passo 2
Entendendo integração (rapidamente e sem mistério): integração indefinida é a operação inversa da derivada. Se conhecemos a derivada de uma função e queremos recuperar a função, procuramos uma antiderivada. Toda antiderivada tem uma constante arbitrária
porque derivar uma constante dá zero.
Aplicando isso à aceleração: como
e
é constante, uma antiderivada de
em relação a
é
. Logo a velocidade
é dada por uma integral indefinida:
onde
é a constante de integração. Agora usamos a condição inicial para determinar
: ao colocar
temos
. Portanto
e assim
Para checar (ufa, sempre bom verificar): derivando
obtemos
, que é exatamente
. Perfeito.
Passo 3
Agora vamos obter a posição
integrando a velocidade. Sabemos que
. Tomamos a antiderivada em relação a
:
Calculemos cada integral:
porque
é constante; e
porque a antiderivada de
é
. Incluímos a constante de integração
:
Determinamos
usando a posição inicial: em
,
portanto
. Assim
Passo 4
Finalmente, a deslocamento (ou distância percorrida relativa à posição inicial) é a diferença entre
e
. Subtraindo
de ambos os lados da expressão acima, obtemos
Podemos também verificar rapidamente: derivando
obtemos
e derivando novamente obtemos
, retornando à aceleração constante dada — tudo consistente.