Calcule as seguintes integrais:

\int r e^{r / 3} d r

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int r e^{r/3}\,dr.
Informações dadas e observações úteis:
  • A variável de integração é r.
  • É uma integral indefinida, então a resposta deve incluir a constante de integração C.
  • Não há outras condições ou limites.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. Primeiro, a fórmula e o que cada termo significa:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para diferenciar (porque sua derivada é mais simples) e dv é a parte que vamos integrar para obter v. A ideia é separar o integrando em duas partes convenientes.
Justificativa da escolha: escolher u=r é natural porque \frac{d}{dr}r=1 simplifica bastante; escolhemos dv=e^{r/3}\,dr porque conseguimos integrar e^{r/3} facilmente (ver passo seguinte).

Passo 3

Calcular v=\int e^{r/3}\,dr. Para isso usamos substituição simples. Seja
s=\frac{r}{3}\quad\Rightarrow\quad ds=\frac{1}{3}\,dr\quad\Rightarrow\quad dr=3\,ds.
Substituindo:
\int e^{r/3}\,dr = \int e^{s}\cdot 3\,ds = 3\int e^{s}\,ds = 3 e^{s} + \text{constante}.
Voltando para r:
v = 3 e^{r/3}.
(Na aplicação da fórmula de partes podemos deixar a constante para o final.)

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes com u=r, du=dr e v=3 e^{r/3}:
\int r e^{r/3}\,dr = u v - \int v\,du = r\cdot\bigl(3 e^{r/3}\bigr) - \int 3 e^{r/3}\,dr.
Calculamos a segunda integral (já feita no passo 3):
\int 3 e^{r/3}\,dr = 3\cdot\bigl(3 e^{r/3}\bigr) = 9 e^{r/3}.
Portanto
\int r e^{r/3}\,dr = 3 r e^{r/3} - 9 e^{r/3} + C.

Passo 5

Simplificando por fator comum 3 e^{r/3}:
\int r e^{r/3}\,dr = 3 e^{r/3}\,(r-3) + C.
Como checagem rápida (opcional), podemos usar a substituição t=r/3 e obter a mesma resposta: \int r e^{r/3}\,dr = 9\int t e^{t}\,dt = 9 e^{t}(t-1)+C = 3 e^{r/3}(r-3)+C.

Resposta

3 e^{r/3}(r-3) + C

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