Calcule as seguintes integrais:
\int r e^{r / 3} d r
\int r e^{r / 3} d r
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações úteis:
- A variável de integração é
. - É uma integral indefinida, então a resposta deve incluir a constante de integração
. - Não há outras condições ou limites.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. Primeiro, a fórmula e o que cada termo significa:
Aqui
é uma função que escolhemos para diferenciar (porque sua derivada é mais simples) e
é a parte que vamos integrar para obter
. A ideia é separar o integrando em duas partes convenientes.
Justificativa da escolha: escolher
é natural porque
simplifica bastante; escolhemos
porque conseguimos integrar
facilmente (ver passo seguinte).
Passo 3
Calcular
. Para isso usamos substituição simples. Seja
Substituindo:
Voltando para
:
(Na aplicação da fórmula de partes podemos deixar a constante para o final.)
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes com
,
e
:
Calculamos a segunda integral (já feita no passo 3):
Portanto
Passo 5
Simplificando por fator comum
:
Como checagem rápida (opcional), podemos usar a substituição
e obter a mesma resposta:
.