Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int e^{x} \sqrt{1+e^{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{x} \sqrt{1+e^{x}}\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função integranda é e^{x}\sqrt{1+e^{x}}.
  • Queremos encontrar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=e^{x}\sqrt{1+e^{x}}.
  • Não há outras condições (constante de integração +C será adicionada).

Passo 2

Observação útil (motivo da escolha de método): dentro da raiz aparece 1+e^{x} e fora temos um fator e^{x}dx. Isso sugere uma substituição que transforme 1+e^{x} em uma nova variável, porque o diferencial dessa nova variável ficará proporcional a e^{x}dx. Essa é a ideia da substituição (u-substitution): simplificar a composição substituindo a parte complicada por uma nova variável.

Passo 3

Fazemos a substituição proposta:
u = 1 + e^{x}.
Agora calculamos o diferencial du. Diferenciando ambos os lados em relação a x (regra da derivada de e^{x}):
du = e^{x}\,dx.
Note que e^{x}\,dx aparece exatamente na integral original, então podemos substituir diretamente.

Passo 4

Reescrevendo a integral original em termos de u:
  • A parte \sqrt{1+e^{x}} vira \sqrt{u}.
  • O produto e^{x}\,dx vira du.
    Logo
\int e^{x}\sqrt{1+e^{x}}\,dx = \int \sqrt{u}\,du.

Passo 5

Agora integramos \int \sqrt{u}\,du. Escrevemos a raiz como potência:
\sqrt{u} = u^{1/2}.
Usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}\,u^{3/2} + C.

Passo 6

Voltando à variável original x (substituição inversa), lembramos que u=1+e^{x}. Portanto a primitiva em x é
F(x)=\frac{2}{3}\bigl(1+e^{x}\bigr)^{3/2}+C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova para ganhar segurança): derivando F(x) pelo Teorema da cadeia:
  • Derivada de \bigl(1+e^{x}\bigr)^{3/2} é \tfrac{3}{2}\bigl(1+e^{x}\bigr)^{1/2}\cdot e^{x}.
  • Multiplicando pelo coeficiente \tfrac{2}{3} obtemos exatamente e^{x}\bigl(1+e^{x}\bigr)^{1/2}, que é a integranda.
    Isso confirma que F'(x)=e^{x}\sqrt{1+e^{x}}.

Resposta

\frac{2}{3}\bigl(1+e^{x}\bigr)^{3/2}+C

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