Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se pede:
- A função integranda é
. - Queremos encontrar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que . - Não há outras condições (constante de integração
será adicionada).
Passo 2
Observação útil (motivo da escolha de método): dentro da raiz aparece
e fora temos um fator
. Isso sugere uma substituição que transforme
em uma nova variável, porque o diferencial dessa nova variável ficará proporcional a
. Essa é a ideia da substituição (u-substitution): simplificar a composição substituindo a parte complicada por uma nova variável.
Passo 3
Fazemos a substituição proposta:
Agora calculamos o diferencial
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(regra da derivada de
):
Note que
aparece exatamente na integral original, então podemos substituir diretamente.
Passo 4
Reescrevendo a integral original em termos de
:
- A parte
vira . - O produto
vira .
Logo
Passo 5
Agora integramos
. Escrevemos a raiz como potência:
Usamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Passo 6
Voltando à variável original
(substituição inversa), lembramos que
. Portanto a primitiva em
é
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova para ganhar segurança): derivando
pelo Teorema da cadeia:
- Derivada de
é . - Multiplicando pelo coeficiente
obtemos exatamente , que é a integranda.
Isso confirma que.