Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações claras do enunciado:
Nada mais é fornecido; o objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função.
Passo 2
Observação e escolha do método (explicação didática do método de substituição):
Quando vemos uma função composta onde aparece uma função e simultaneamente a sua derivada multiplicando, costuma ser boa ideia usar a substituição simples. A ideia geral da substituição é: se tomarmos e
, então
Quando vemos uma função composta onde aparece uma função e simultaneamente a sua derivada multiplicando, costuma ser boa ideia usar a substituição simples. A ideia geral da substituição é: se tomarmos
Aqui é útil lembrar (ou verificar) a derivada da função arco-tangente:
Note que o denominador
aparece exatamente na integral dada — isso sugere a substituição direta
.
Passo 3
Fazer a substituição passo a passo:
Defina
Defina
Então, derivando ambos os lados em relação a
,
Agora a diferencial
já está combinada com
na integral original, então podemos reescrever a integral inteira em termos de
. Substituindo:
Expliquei: a fração
virou
e
virou
.
Passo 4
Calcular a integral em
(regra básica de integrais polinomiais):
A integral é uma integral direta; a regra é
A integral
porque ao derivar
obtemos
. Assim
Passo 5
Voltar à variável original (retro-substituição) e escrever a primitiva final:
Substituindo de volta,
Substituindo
Passo 6
Verificação rápida (útil em prova — sempre bom checar):
Derivando a resposta obtemos, pela regra da cadeia,
Derivando a resposta obtemos, pela regra da cadeia,
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.