Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{\operatorname{arctg}(x)}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{arctg}(x)}{1+x^{2}}\,dx.
Informações claras do enunciado:
\text{Integrando: }\frac{\operatorname{arctg}(x)}{1+x^{2}},\qquad\text{variável: }x.á
Nada mais é fornecido; o objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função.

Passo 2

Observação e escolha do método (explicação didática do método de substituição):
Quando vemos uma função composta onde aparece uma função e simultaneamente a sua derivada multiplicando, costuma ser boa ideia usar a substituição simples. A ideia geral da substituição é: se tomarmos \,u=g(x)\, e \,du=g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui é útil lembrar (ou verificar) a derivada da função arco-tangente:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg}(x)\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Note que o denominador \,1+x^{2}\, aparece exatamente na integral dada — isso sugere a substituição direta \,u=\operatorname{arctg}(x)\,.

Passo 3

Fazer a substituição passo a passo:
Defina
u=\operatorname{arctg}(x).
Então, derivando ambos os lados em relação a x,
du=\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Agora a diferencial \,dx\, já está combinada com \,1+x^{2}\, na integral original, então podemos reescrever a integral inteira em termos de u. Substituindo:
\int \frac{\operatorname{arctg}(x)}{1+x^{2}}\,dx = \int u\,du.
Expliquei: a fração \frac{1}{1+x^{2}}\,dx virou du e \operatorname{arctg}(x) virou u.

Passo 4

Calcular a integral em u (regra básica de integrais polinomiais):
A integral \int u\,du é uma integral direta; a regra é
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2}+C,
porque ao derivar \frac{u^{2}}{2} obtemos u. Assim
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2}+C.

Passo 5

Voltar à variável original (retro-substituição) e escrever a primitiva final:
Substituindo u=\operatorname{arctg}(x) de volta,
\int \frac{\operatorname{arctg}(x)}{1+x^{2}}\,dx = \frac{\big(\operatorname{arctg}(x)\big)^{2}}{2}+C.

Passo 6

Verificação rápida (útil em prova — sempre bom checar):
Derivando a resposta obtemos, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{\big(\operatorname{arctg}(x)\big)^{2}}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot 2\operatorname{arctg}(x)\cdot\frac{1}{1+x^{2}} = \frac{\operatorname{arctg}(x)}{1+x^{2}},
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\big(\operatorname{arctg}(x)\big)^{2}}{2}+C

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