Calcule as seguintes integrais:
\int \sqrt{1-(x-1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \sqrt{1 - (x - 1)^{2}}\;dx.
O conteúdo envolve integrais de funções com raiz de quadrática do tipo \sqrt{1 - u^{2}}. Vamos usar mudança de variável para isolar essa forma e, em seguida, substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazendo a troca
u = x - 1, \quad du = dx,
a integral passa a ser
\int \sqrt{1 - u^{2}}\;du.

Passo 3

Para
\int \sqrt{1 - u^{2}}\;du
adotamos a substituição trigonométrica
u = \sin(\theta), \quad du = \cos(\theta)\,d\theta, \quad \sqrt{1 - u^{2}} = \cos(\theta).
Assim a integral vira
\int \cos(\theta)\,\bigl(\cos(\theta)\,d\theta\bigr) = \int \cos^{2}(\theta)\;d\theta.

Passo 4

Usando a identidade
\cos^{2}(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2},
temos
\int \cos^{2}(\theta)\;d\theta = \int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\;d\theta = \frac{1}{2}\,\theta + \frac{1}{4}\sin(2\theta) + C.
Como \sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta), isso é
\frac{1}{2}\,\theta + \frac{1}{2}\sin(\theta)\cos(\theta) + C.

Passo 5

Voltando para u:
\theta = \arcsin(u), \quad \sin(\theta)=u, \quad \cos(\theta)=\sqrt{1 - u^{2}}.
Logo a primitiva em termos de u é
\frac{1}{2}\arcsin(u) + \frac{1}{2}\,u\sqrt{1 - u^{2}} + C.

Passo 6

Substituindo u = x - 1 de volta, obtemos
\frac{1}{2}\arcsin(x - 1) + \frac{1}{2}\,(x - 1)\sqrt{1 - (x - 1)^{2}} + C.

Resposta

\frac{1}{2}(x - 1)\sqrt{1 - (x - 1)^{2}} + \frac{1}{2}\arcsin(x - 1) + C.

Exercícios relacionados