Calcule as seguintes integrais
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x y} x d z d y d x=

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x y} x\,dz\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \,x\,.
  • Limites de integração:
    • x varia de 0 a 1: 0\le x\le1.
    • Para cada x, y varia de 0 a x: 0\le y\le x.
    • Para cada par (x,y), z varia de 0 a xy: 0\le z\le xy.
  • A integral é iterada na ordem dz, depois dy, depois dx.

Passo 2

Conceito importante (muito usado em prova): quando fazemos uma integral iterada, ao integrar em relação a uma variável, as outras variáveis são tratadas como constantes. Em particular, ao integrar em z temos x e y constantes. A regra simples para integrar uma constante c em relação a z é
\int_{a}^{b} c\,dz = c\,(b-a).
Aqui, na integral interna o integrando é x, que é constante em relação a z.

Passo 3

Calculo da integral interna em z:
\int_{0}^{xy} x\,dz = x\cdot\bigl(z\bigr)\Big|_{0}^{xy} = x\cdot(xy-0) = x^{2}y.
Portanto a integral tripla reduz-se a uma dupla:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x} x^{2}y\,dy\,dx.

Passo 4

Próximo passo: integrar em y. Agora x é constante e usamos a regra da potência para integrar y:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
Aplicando isso com o fator constante x^{2},
\int_{0}^{x} x^{2}y\,dy = x^{2}\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{x} = x^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2}x^{4}.
Assim a integral fica agora unidimensional:
\int_{0}^{1} \frac{1}{2}x^{4}\,dx.

Passo 5

Finalmente integramos em x usando novamente a regra da potência:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
No nosso caso n=4 e há o fator \tfrac{1}{2}:
\int_{0}^{1} \frac{1}{2}x^{4}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{5}}{5}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5} = \frac{1}{10}.

Resposta

\dfrac{1}{10}

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