Calcule as seguintes integrais
a) \int_{0}^{3} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right] d x d y d z=
b) \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} x^{2} y^{2} z^{2} d x d y d z=
c) \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x y} x d z d y d x=
Passo 1
O enunciado pede que calculemos três integrais triplas. As integrais e as informações dadas são:
a) \int_{0}^{3} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right] \, d x \, d y \, d z
b) \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} x^{2} y^{2} z^{2} \, d x \, d y \, d z
c) \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x y} x \, d z \, d y \, d x
Os limites de integração e as funções integrandas estão explicitados acima. Não há outras condições ocultas no enunciado.
Passo 2
Vou lembrar algumas propriedades e fórmulas que vamos usar, de forma bem prática e sem pressa:
Linearidade da integral: para funções F e G,
\int (F+G) = \int F + \int G.
Isto permite separar somas dentro da integral.
Se a função é produto de funções de variáveis separadas, por exemplo f(x)g(y)h(z), e os limites são retângulos (produtos de intervalos), então a integral tripla se separa em produto de integrais simples:
Regra de potência (fórmula básica de antiderivada): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
No caso de constantes multiplicando a variável, podemos puxar a constante para fora da integral.
Integração em ordem dada: quando há integrais iteradas (uma dentro da outra), integramos na ordem prescrita, tratando as outras variáveis como constantes naquele passo.
Com essas ferramentas a gente resolve cada item integrando uma variável de cada vez, explicando cada movimento.
Passo 3
Começamos por
\int_{0}^{3} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right] \, d x \, d y \, d z.
Integramos em x (de 0 a 1). Ao integrar em x, y e z são constantes. Aplicando a linearidade e a regra de potência:
\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} x^{2} y^{2} z^{2} \, d x \, d y \, d z.
A função é produto de funções de cada variável: x^{2}y^{2}z^{2} = f(x)g(y)h(z) com f(x)=x^{2}, g(y)=y^{2}, h(z)=z^{2}, e os limites são produto de intervalos simétricos. Pela propriedade de separação: