Calcule as seguintes integrais
a) \int_{0}^{3} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right] d x d y d z=
b) \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} x^{2} y^{2} z^{2} d x d y d z=
c) \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x y} x d z d y d x=

Passo 1

O enunciado pede que calculemos três integrais triplas. As integrais e as informações dadas são:
a) \int_{0}^{3} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right] \, d x \, d y \, d z
b) \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} x^{2} y^{2} z^{2} \, d x \, d y \, d z
c) \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x y} x \, d z \, d y \, d x
Os limites de integração e as funções integrandas estão explicitados acima. Não há outras condições ocultas no enunciado.

Passo 2

Vou lembrar algumas propriedades e fórmulas que vamos usar, de forma bem prática e sem pressa:
  1. Linearidade da integral: para funções F e G,
\int (F+G) = \int F + \int G.
Isto permite separar somas dentro da integral.
  1. Se a função é produto de funções de variáveis separadas, por exemplo f(x)g(y)h(z), e os limites são retângulos (produtos de intervalos), então a integral tripla se separa em produto de integrais simples:
\int_{z_0}^{z_1}\int_{y_0}^{y_1}\int_{x_0}^{x_1} f(x)g(y)h(z)\,dx\,dy\,dz = \left(\int_{x_0}^{x_1} f(x)\,dx\right)\left(\int_{y_0}^{y_1} g(y)\,dy\right)\left(\int_{z_0}^{z_1} h(z)\,dz\right).
  1. Regra de potência (fórmula básica de antiderivada): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
No caso de constantes multiplicando a variável, podemos puxar a constante para fora da integral.
  1. Integração em ordem dada: quando há integrais iteradas (uma dentro da outra), integramos na ordem prescrita, tratando as outras variáveis como constantes naquele passo.
Com essas ferramentas a gente resolve cada item integrando uma variável de cada vez, explicando cada movimento.

Passo 3

Começamos por
\int_{0}^{3} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right] \, d x \, d y \, d z.
Integramos em x (de 0 a 1). Ao integrar em x, y e z são constantes. Aplicando a linearidade e a regra de potência:
\int_{0}^{1}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right] \, dx = \int_{0}^{1} x^{2}\,dx + \int_{0}^{1} y^{2}\,dx + \int_{0}^{1} z^{2}\,dx.
Aqui \int_{0}^{1} y^{2}\,dx = y^{2}\int_{0}^{1} dx = y^{2}\cdot 1 e similar para z^{2}. Calculando:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3},
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\int_{0}^{1}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right] dx = \frac{1}{3} + y^{2} + z^{2}.

Passo 4

Agora integramos em y de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{3} + y^{2} + z^{2}\right) dy = \int_{0}^{2}\frac{1}{3}\,dy + \int_{0}^{2} y^{2}\,dy + \int_{0}^{2} z^{2}\,dy.
Calculamos cada termo:
\int_{0}^{2}\frac{1}{3}\,dy = \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{2}{3},
\int_{0}^{2} y^{2}\,dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{2} = \frac{8}{3},
\int_{0}^{2} z^{2}\,dy = z^{2}\int_{0}^{2} dy = z^{2}\cdot 2 = 2z^{2}.
Somando:
\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{3} + y^{2} + z^{2}\right) dy = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} + 2z^{2} = \frac{10}{3} + 2z^{2}.

Passo 5

Finalmente integramos em z de 0 a 3:
\int_{0}^{3}\left(\frac{10}{3} + 2z^{2}\right) dz = \int_{0}^{3}\frac{10}{3}\,dz + 2\int_{0}^{3} z^{2}\,dz.
Calculamos:
\int_{0}^{3}\frac{10}{3}\,dz = \frac{10}{3}\cdot 3 = 10,
\int_{0}^{3} z^{2}\,dz = \left.\frac{z^{3}}{3}\right|_{0}^{3} = \frac{27}{3} = 9,
então
\int_{0}^{3}\left(\frac{10}{3} + 2z^{2}\right) dz = 10 + 2\cdot 9 = 10 + 18 = 28.
Portanto o item (a) vale 28.

Passo 6

Temos
\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} x^{2} y^{2} z^{2} \, d x \, d y \, d z.
A função é produto de funções de cada variável: x^{2}y^{2}z^{2} = f(x)g(y)h(z) com f(x)=x^{2}, g(y)=y^{2}, h(z)=z^{2}, e os limites são produto de intervalos simétricos. Pela propriedade de separação:
\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} x^{2} y^{2} z^{2}\,dx\,dy\,dz = \left(\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx\right)\left(\int_{-1}^{1} y^{2}\,dy\right)\left(\int_{-1}^{1} z^{2}\,dz\right).
Cada integral simples é igual (mesmo integrando x^2 no mesmo intervalo), então basta calcular uma delas.

Passo 7

Como x^{2} é função par (simétrica), uma forma rápida é dobrar a integral de 0 a 1:
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 2\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Então cada uma das três integrais vale \frac{2}{3}. O produto é
\left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{8}{27}.
Portanto o item (b) vale \frac{8}{27}.

Passo 8

Agora
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x y} x \, d z \, d y \, d x.
A ordem manda integrar em z (de 0 a xy) primeiro. Ao integrar em z, o integrando é x, que é constante em relação a z. Então
\int_{0}^{xy} x \, dz = x\cdot (xy - 0) = x^{2}y.
Assim a integral vira
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x^{2}y \, dy \, dx.

Passo 9

Agora integramos em y de 0 a x:
\int_{0}^{x} x^{2}y \, dy = x^{2} \int_{0}^{x} y \, dy = x^{2}\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{x} = x^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{2}.
Agora a integral reduz-se a
\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{2} \, dx.

Passo 10

Integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{2} \, dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{4}\,dx = \frac{1}{2}\left.\frac{x^{5}}{5}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5} = \frac{1}{10}.
Portanto o item (c) vale \frac{1}{10}.

Resposta

a)\;28
b)\;\dfrac{8}{27}
\text{©};\dfrac{1}{10})

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