Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Informações dadas:
- Os limites de integração são
, , . - A função integranda é
. - A região de integração é o paralelepípedo retângular
.
Passo 2
Qual é a ideia para resolver? Vamos usar que a função
é contínua no paralelepípedo dado. Para funções contínuas em retângulos (ou paralelepípedos) podemos calcular a integral tripla como uma integral iterada — isto é, integrar em relação a uma variável de cada vez, mantendo as outras fixas. Em notação:
significa primeiro calcular a primitiva de
em
(tratando
como constantes), depois integrar o resultado em
, e por fim em
.
Antes de começar: uma observação útil é que podemos integrar termo a termo, porque a integral é linear. Ou seja,
onde ao integrar em
os termos
e
são constantes em relação a
.
Passo 3
Integrando primeiro em relação a
no intervalo
. Tomamos antiderivadas em
:
- A antiderivada de
em é , pois . - A antiderivada de
em é , pois é constante em . - A antiderivada de
em é , pois é constante em .
Portanto,
Passo 4
Avalio a expressão em
e
:
Em
fica
.
Em fica
.
Em
Logo o resultado da integração em
é
Assim a integral tripla reduz-se a uma integral dupla:
Passo 5
Agora integramos em relação a
no intervalo
. Novamente integrando termo a termo:
- A antiderivada de
em é . - A antiderivada de
em é . - A antiderivada de
em é (pois é constante em ).
Portanto
Passo 6
Avalio em
e
:
Em
:
.
Em :
.
Em
Logo a integral restante em
é
Agora integramos em
:
- A antiderivada de
em é . - A antiderivada de
em é .
Portanto
Ao avaliar em
obtemos