Calcule as seguintes integrais
\int_{0}^{3} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right] d x d y d z=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{3} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right] \,dx\,dy\,dz.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são x\in[0,1], y\in[0,2], z\in[0,3].
  • A função integranda é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • A região de integração é o paralelepípedo retângular 0\le x\le1,\;0\le y\le2,\;0\le z\le3.

Passo 2

Qual é a ideia para resolver? Vamos usar que a função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} é contínua no paralelepípedo dado. Para funções contínuas em retângulos (ou paralelepípedos) podemos calcular a integral tripla como uma integral iterada — isto é, integrar em relação a uma variável de cada vez, mantendo as outras fixas. Em notação:
\int_{z_0}^{z_1}\int_{y_0}^{y_1}\int_{x_0}^{x_1} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
significa primeiro calcular a primitiva de f em x (tratando y,z como constantes), depois integrar o resultado em y, e por fim em z.
Antes de começar: uma observação útil é que podemos integrar termo a termo, porque a integral é linear. Ou seja,
\int (x^2+y^2+z^2)\,dx=\int x^2\,dx+\int y^2\,dx+\int z^2\,dx,
onde ao integrar em x os termos y^2 e z^2 são constantes em relação a x.

Passo 3

Integrando primeiro em relação a x no intervalo [0,1]. Tomamos antiderivadas em x:
  • A antiderivada de x^{2} em x é \dfrac{x^{3}}{3}, pois \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}.
  • A antiderivada de y^{2} em x é x\,y^{2}, pois y^{2} é constante em x.
  • A antiderivada de z^{2} em x é x\,z^{2}, pois z^{2} é constante em x.
Portanto,
\int_{0}^{1}\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}\right]\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}+x\,y^{2}+x\,z^{2}\right]_{x=0}^{x=1}.

Passo 4

Avalio a expressão em x=1 e x=0:
Em x=1 fica \dfrac{1^{3}}{3}+1\cdot y^{2}+1\cdot z^{2}=\dfrac{1}{3}+y^{2}+z^{2}.
Em x=0 fica 0.
Logo o resultado da integração em x é
\dfrac{1}{3}+y^{2}+z^{2}.
Assim a integral tripla reduz-se a uma integral dupla:
\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}\left(\dfrac{1}{3}+y^{2}+z^{2}\right)\,dy\,dz.

Passo 5

Agora integramos em relação a y no intervalo [0,2]. Novamente integrando termo a termo:
  • A antiderivada de \dfrac{1}{3} em y é \dfrac{y}{3}.
  • A antiderivada de y^{2} em y é \dfrac{y^{3}}{3}.
  • A antiderivada de z^{2} em y é y\,z^{2} (pois z^{2} é constante em y).
Portanto
\int_{0}^{2}\left(\dfrac{1}{3}+y^{2}+z^{2}\right)\,dy = \left[\dfrac{y}{3}+\dfrac{y^{3}}{3}+y\,z^{2}\right]_{y=0}^{y=2}.

Passo 6

Avalio em y=2 e y=0:
Em y=2: \dfrac{2}{3}+\dfrac{2^{3}}{3}+2\,z^{2}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{8}{3}+2z^{2}=\dfrac{10}{3}+2z^{2}.
Em y=0: 0.
Logo a integral restante em z é
\int_{0}^{3}\left(\dfrac{10}{3}+2z^{2}\right)\,dz.
Agora integramos em z:
  • A antiderivada de \dfrac{10}{3} em z é \dfrac{10}{3}z.
  • A antiderivada de 2z^{2} em z é \dfrac{2}{3}z^{3}.
Portanto
\int_{0}^{3}\left(\dfrac{10}{3}+2z^{2}\right)\,dz = \left[\dfrac{10}{3}z+\dfrac{2}{3}z^{3}\right]_{z=0}^{z=3}.
Ao avaliar em z=3 obtemos \dfrac{10}{3}\cdot 3+\dfrac{2}{3}\cdot 3^{3}=\;10+\dfrac{2}{3}\cdot 27=\;10+18.

Resposta

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