Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
Ou seja, devemos primeiro integrar em
entre
e
e depois em
entre
e
.
Passo 2
Estratégia: vamos calcular a integral interna em
primeiro, tratando
como constante (porque estamos integrando em relação a
). Lembre que uma constante pode ser fatorada para fora da integral:
quando
não depende de
.
Passo 3
Aplicando isso à integral interna, fatoramos
(constante em relação a
):
Passo 4
Agora usamos a antiderivada de
. A primitiva de
é
, isto é,
Logo
Passo 5
Avaliaremos o colchete:
Como
, a diferença é zero:
Portanto a integral interna vale
Passo 6
Uma observação rápida (útil para provas): a função
é ímpar, e os limites em
são simétricos
; a integral de uma função ímpar em limites simétricos é sempre zero. Isso confirma o resultado anterior sem cálculo explícito.
Passo 7
Como a integral interna é zero para todo
em
, a integral dupla fica
E
é zero porque a integral de uma função identicamente nula é zero.