Calcule as seguintes integrais
\int_{0}^{4} \int_{-y}^{y}-x y^{2} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{4}\int_{-y}^{y}-x\,y^{2}\,dx\,dy.
Informações dadas:
\text{integrando: } -x\,y^{2},
\text{limites em }x: x\in[-y,y],
\text{limites em }y: y\in[0,4].
Ou seja, devemos primeiro integrar em x entre -y e y e depois em y entre 0 e 4.

Passo 2

Estratégia: vamos calcular a integral interna em x primeiro, tratando y como constante (porque estamos integrando em relação a x). Lembre que uma constante pode ser fatorada para fora da integral:
\int_{a}^{b} c\cdot f(x)\,dx = c\int_{a}^{b} f(x)\,dx,
quando c não depende de x.

Passo 3

Aplicando isso à integral interna, fatoramos -y^{2} (constante em relação a x):
\int_{-y}^{y}-x\,y^{2}\,dx = -y^{2}\int_{-y}^{y} x\,dx.

Passo 4

Agora usamos a antiderivada de x. A primitiva de x é \tfrac{1}{2}x^{2}, isto é,
\int x\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2}.
Logo
-y^{2}\int_{-y}^{y} x\,dx = -y^{2}\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{x=-y}^{x=y}.

Passo 5

Avaliaremos o colchete:
\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{-y}^{y} = \tfrac{1}{2}y^{2} - \tfrac{1}{2}(-y)^{2}.
Como (-y)^{2}=y^{2}, a diferença é zero:
\tfrac{1}{2}y^{2} - \tfrac{1}{2}y^{2} = 0.
Portanto a integral interna vale
-y^{2}\cdot 0 = 0.

Passo 6

Uma observação rápida (útil para provas): a função x\mapsto x é ímpar, e os limites em x são simétricos [-y,y]; a integral de uma função ímpar em limites simétricos é sempre zero. Isso confirma o resultado anterior sem cálculo explícito.

Passo 7

Como a integral interna é zero para todo y em [0,4], a integral dupla fica
\int_{0}^{4} 0\,dy = 0.
E \int_{0}^{4}0\,dy é zero porque a integral de uma função identicamente nula é zero.

Resposta

0

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