Calcule as seguintes integrais.
\int(x+1) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular a integral indefinida \int (x+1)\,dx.
Isso significa encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x+1. A integral é indefinida, então a resposta terá uma constante arbitrária C.

Passo 2

Regra de linearidade das integrais: a integral da soma é a soma das integrais. Em símbolos,
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
Isto é verdadeiro porque a derivada da soma é a soma das derivadas, logo os antiderivados também se somam.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao integrando x+1:
\int (x+1)\,dx = \int x\,dx + \int 1\,dx.

Passo 4

Regra da potência para integrar potências de x: para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui temos x = x^{1}, então com n=1 obtemos
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
(explicação rápida: derivando \dfrac{x^2}{2} obtém-se x, confirmando que é um antiderivado.)

Passo 5

Integral de constante: para uma constante a,
\int a\,dx = a x + C.
No nosso caso a=1, portanto
\int 1\,dx = x.

Passo 6

Somando os resultados das integrais parciais e colocando uma única constante de integração C:
\int (x+1)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + x + C.
Verificação rápida: derivando \dfrac{x^{2}}{2}+x+C obtém-se x+1, isto é, é de fato um antiderivado.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{2}+x+C

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