Calcule as seguintes integrais:
\int_{-2}^{2}(2 x+3) \delta(3 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-2}^{2}(2x+3)\,\delta(3x)\,dx.
O conteúdo aqui é distribuição de Dirac, mais especificamente a propriedade da delta de Dirac sob mudança de escala.

Passo 2

Aplicamos a propriedade
\delta(a x)=\frac{1}{\lvert a\rvert}\,\delta(x).
No nosso caso a=3, logo
\delta(3x)=\frac{1}{3}\,\delta(x).

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{-2}^{2}(2x+3)\,\delta(3x)\,dx =\frac{1}{3}\int_{-2}^{2}(2x+3)\,\delta(x)\,dx.
Como \delta(x) “seleciona” x=0, o integrando avaliado em zero é 2\cdot0+3=3. Logo
\frac{1}{3}\int_{-2}^{2}(2x+3)\,\delta(x)\,dx =\frac{1}{3}\cdot3=1.

Resposta

1

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