Calcule as seguintes integrais.
integral t raizt+raiztt^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de  t raizt + raiztt^2 em relação a  t. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem simplificação de expressões algébricas antes de integrar. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão dentro da integral e depois aplicar as regras de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Vamos olhar para o numerador:  t raizt + raizt. Sabemos que raizt é o mesmo que t^1/2. Então, podemos reescrever o numerador assim:
t raizt + raizt = t cdot t^1/2 + t^1/2 = t^3/2 + t^1/2
Agora, a integral fica:
integral t^3/2 + t^1/2t^2 dt

Passo 3

Vamos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por t^2:
t^3/2t^2 + t^1/2t^2 = t^3/2 - 2 + t^1/2 - 2 = t^-1/2 + t^-3/2
Então, a integral agora é:
integral t^-1/2 + t^-3/2 , dt

Passo 4

Agora que temos uma expressão mais simples, vamos integrar termo a termo. Lembrando que a integral de t^n em relação a  t é t^n+1n+1 + C, onde  C é a constante de integração.
Aplicando isso:
  1. Para t^-1/2:
    integral t^-1/2 , dt = t^-1/2 + 1-1/2 + 1 = t^1/21/2 = 2 t^1/2
  2. Para t^-3/2:
    integral t^-3/2 , dt = t^-3/2 + 1-3/2 + 1 = t^-1/2-1/2 = -2 t^-1/2

Resposta

Somando os resultados das integrais, temos:
2 t^1/2 - 2 t^-1/2 + C
Ou, de forma equivalente:
2 raizt - 2raizt + C
Onde  C é a constante de integração.

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