Calcule o volume do sólido no espaço X Y Z delimitado por z=9-x^2, 0 <= y <= 5 e z=5-y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado por duas superfícies dadas por z=9 - x^2 e z=5 - y, com 0 <= y <= 5. O conteúdo é integral tripla, e vamos precisar projetar o sólido no plano xy para escrever o volume como V=integral duplaRl(zsup-zinfr),dA.

Passo 2

Para encontrar a região de projeção R no plano xy, usamos a condição de que a superfície de cima z=9 - x^2 esteja acima da de baixo z=5 - y. Assim,
9 - x^2 >= 5 - y
que equivale a
x^2 <= 4 + y,
com 0 <= y <= 5. Daí, para cada y fixo, temos -raiz4+y <= x <= raiz4+y.

Passo 3

Escrevemos o volume como integral iterada:
V = integraly=0^5 integralx=-raiz4+y^raiz4+y l[(9 - x^2) - (5 - y)r] ,dx,dy

Passo 4

Simplificamos o integrando: (9 - x^2) - (5 - y) = 4 + y - x^2. Agora, integramos em x:
integral-raiz4+y^raiz4+y (4 + y - x^2) ,dx = 2(4+y)raiz4+y - tfrac23(4+y)^3/2 = tfrac43(4+y)^3/2

Passo 5

Então o volume fica
V = 43 integral0^5 (4+y)^3/2 ,dy

Passo 6

Fazemos a troca u = 4 + y, de u=4 até u=9, e
integral0^5 (4+y)^3/2 ,dy = integral4^9 u^3/2 ,du = 25u^5/2|4^9 = 25(9^5/2 - 4^5/2) = 25(243 - 32)

Passo 7

Multiplicando pelo fator 4/3:
V = 43 cdot 25 (243 - 32) = 815 cdot 211 = 168815

Resposta

V = 168815

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