Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é: e^x+2 y dx - e^2 x - y dy = 0. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar manipular a equação para encontrar uma relação entre y e x que possamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar dydx. A equação original é:
e^x+2 y dx - e^2 x - y dy = 0
Dividindo tudo por dx e isolando dydx, temos:
dydx = e^x+2 ye^2 x - y = e^-x + 3y
Aqui, simplificamos as potências usando as propriedades dos expoentes.

Passo 3

Agora, temos uma equação na forma dydx = e^-x + 3y. Essa é uma equação diferencial não linear e não é exata, então precisamos encontrar uma maneira de resolvê-la. Vamos tentar uma substituição para simplificar.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição inteligente para facilitar a resolução. Seja:
z = 3y - x
Então, derivando ambos os lados em relação a x:
dzdx = 3dydx - 1
Substituindo dydx da equação anterior:
dzdx = 3e^-x + 3y - 1 = 3e^z - 1
Agora, a equação em termos de z fica:
dzdx = 3e^z - 1

Passo 5

Essa nova equação é separável, o que significa que podemos separar os termos que envolvem z dos que envolvem x. Vamos reorganizar:
dz3e^z - 1 = dx
Agora, ambos os lados estão prontos para serem integrados.

Passo 6

Vamos integrar os dois lados:
integral dz3e^z - 1 = integral dx
A integral da direita é simples, resulta em x + C, onde C é a constante de integração. A integral da esquerda pode ser resolvida por substituição:
Deixe u = 3e^z - 1, então du = 3e^z dz. Reescrevendo:
13 integral duu = 13 ln|u| + C = 13 ln|3e^z - 1| + C

Passo 7

Voltando à variável original y, lembrando que z = 3y - x:
13 ln|3e^3y - x - 1| = x + C
Multiplicando ambos os lados por 3:
ln|3e^3y - x - 1| = 3x + C'
Onde C' = 3C.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ln|3e^3y - x - 1| = 3x + C
Onde C é a constante de integração.

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