Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar manipular a equação para encontrar uma relação entre
e
que possamos integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar
. A equação original é:
Dividindo tudo por
e isolando
, temos:
Aqui, simplificamos as potências usando as propriedades dos expoentes.
Passo 3
Agora, temos uma equação na forma
. Essa é uma equação diferencial não linear e não é exata, então precisamos encontrar uma maneira de resolvê-la. Vamos tentar uma substituição para simplificar.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição inteligente para facilitar a resolução. Seja:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo
da equação anterior:
Agora, a equação em termos de
fica:
Passo 5
Essa nova equação é separável, o que significa que podemos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Vamos reorganizar:
Agora, ambos os lados estão prontos para serem integrados.
Passo 6
Vamos integrar os dois lados:
A integral da direita é simples, resulta em
, onde
é a constante de integração. A integral da esquerda pode ser resolvida por substituição:
Deixe , então
. Reescrevendo:
Deixe
Passo 7
Voltando à variável original
, lembrando que
:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Onde
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.