Calcule as seguintes integrais
integral(-2 x+3) ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral(-2x+3)ln x,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos produto de polinômio e ln x.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas parcelas lineares:
integral(-2x+3)ln x,dx =-2integral xln x,dx+3integralln x,dx

Passo 3

Calcular I1=integral xln x,dx por partes. Escolhemos
u=ln x, dv=x,dx,
logo
du=dxx, v=integral x,dx=x^22
Pela fórmula integral u,dv=uv-integral v,du, temos
I1 =x^22ln x-integralx^22cdotdxx =x^22ln x-12integral x,dx =x^22ln x-x^24

Passo 4

Calcular I2=integralln x,dx também por partes, com
u=ln x, dv=dx,
logo
du=dxx, v=x
Assim,
I2 =xln x-integral xcdotdxx =xln x-integral 1,dx =xln x - x

Passo 5

Agora reunimos tudo sem o +C intermediário:
integral(-2x+3)ln x,dx =-2I1+3I2 =-2l(x^22ln x-x^24r) +3l(xln x - xr)
Simplificando,
-2I1 =-x^2ln x + x^22, 3I2 =3xln x - 3x,
logo a primitiva é
F(x)=-x^2ln x+3xln x+x^22-3x

Resposta

boxedintegral(-2x+3)ln x,dx =-x^2ln x+3xln x+x^22-3x+C

Exercícios relacionados