Exercício 7. (Apostol seção 1.13 exercício 1) As funções lang<=,rang<=: R^n times R^n R definidas abaixo definem um produto interno? Justifique.
lang<=(x1, ldots, xn),(y1, ldots, yn)rang<==|sumj=1^n xj yj|.

Passo 1

O enunciado define a aplicação lang<=cdot,cdotrang<=:R^ntimesR^ntoR dada por
lang<=(x1,dots,xn),(y1,dots,yn)rang<= ;=;l|sumj=1^n xj,yjr|
Queremos verificar se isso satisfaz os três axiomas de produto interno: (i) simetria, (ii) linearidade no primeiro argumento e (iii) positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria. Para quaisquer x,yinR^n vale
lang<= x,yrang<= ;=;l|sumj=1^n xj,yjr| ;=;l|sumj=1^n yj,xjr| ;=;lang<= y,xrang<=
Logo, o requisito de simetria lang<= x,yrang<==lang<= y,xrang<= está satisfeito.

Passo 3

Verificamos a positividade definida. Para qualquer xinR^n temos
lang<= x,xrang<= ;=;l|sumj=1^n xj^2r| ;=;sumj=1^n xj^2
Como sumj=1^n xj^2>=0 e sumj=1^n xj^2=0 se e somente se x=0, a positividade definida também está satisfeita.

Passo 4

Falta a linearidade no primeiro argumento, ou seja, deve valer
lang<= alpha x + z,,yrang<= ;=;alpha,lang<= x,yrang<= ;+;lang<= z,yrang<=
para todo alphainR e x,y,zinR^n. Mas devido ao valor absoluto isso falha em geral. Por exemplo, tome
x=(1,0), y=(1,1), z=(1,-1), alpha=1
Então
lang<= x+y,yrang<= = l|(1+1)cdot1 + (0+1)cdot1r| = |3| = 3,
porém
lang<= x,yrang<= + lang<= y,yrang<= = l|1cdot1 + 0cdot1r| + l|1cdot1 + 1cdot1r| = |1| + |2| = 3
Este exemplo ainda não mostra falha; melhor usar
x=(1,0), y=(1,1), z=-y
Então
lang<= x+y,yrang<= = l|(1+1)cdot1 + (0+1)cdot1r| = |3| = 3,
enquanto
lang<= x,yrang<= + lang<= y,yrang<= = |1| + |2| = 3,
ainda coincide. O contraexemplo clássico é
x=(1,0), y=(1,1), z=-y, alpha=1,
então
lang<= x+z,yrang<= = lang<=(0,-1),(1,1)rang<= = |0cdot1 + (-1)cdot1| = 1,
mas
lang<= x,yrang<= + lang<= z,yrang<= = |1| + |-2| = 3
Assim a aditividade falha, e portanto não há linearidade.

Resposta

A função não define produto interno, pois viola a linearidade no primeiro argumento.

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