Exercício 7. (Apostol seção 1.13 exercício 1) As funções
definidas abaixo definem um produto interno? Justifique.
.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
lang<=cdot,cdotrang<=:R^ntimesR^ntoR dada por
Queremos verificar se isso satisfaz os três axiomas de produto interno: (i) simetria, (ii) linearidade no primeiro argumento e (iii) positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria. Para quaisquer
x,yinR^n vale
Logo, o requisito de simetria
lang<= x,yrang<==lang<= y,xrang<= está satisfeito.
Passo 3
Verificamos a positividade definida. Para qualquer
xinR^n temos
Como
sumj=1^n xj^2>=0 e
sumj=1^n xj^2=0 se e somente se
x=0 , a positividade definida também está satisfeita.
Passo 4
Falta a linearidade no primeiro argumento, ou seja, deve valer
para todo
alphainR e
x,y,zinR^n . Mas devido ao valor absoluto isso falha em geral. Por exemplo, tome
Então
porém
Este exemplo ainda não mostra falha; melhor usar
Então
enquanto
ainda coincide. O contraexemplo clássico é
então
mas
Assim a aditividade falha, e portanto não há linearidade.
Resposta
A função não define produto interno, pois viola a linearidade no primeiro argumento.