Determine os pontos de máximo e mínimo das funções f(x, y) dadas abaixo nas regiões R indicadas.
f(x, y)=y+x sen(y), R=R^2,(O plano todo ).

Passo 1

O enunciado pede para achar pontos de máximo e mínimo de
f(x,y)=y + xsin(y)
no domínio R=R^2.
O método geral é calcular os pontos críticos pela condição nabla f=0 e usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = sin(y), partial fpartial y = 1 + xcos(y)
Impondo nabla f=0 temos o sistema
sin(y)=0, 1 + xcos(y)=0
Da primeira igualdade vem y = kpi, kinZ. Como cos(kpi)=(-1)^kneq0, a segunda dá
x = -1cos(kpi) = (-1)^k+1
Logo, os pontos críticos são
(xk,yk) = l((-1)^k+1,,kpir), kinZ

Passo 3

Para classificar, montamos a Hessiana
H = fxx & fxy fyx & fyy = 0 & cos(y)[6pt] cos(y) & -,xsin(y)
Em (xk,yk) temos sin(kpi)=0 e cos(kpi)=(-1)^k, então
Hk = 0 & (-1)^k[3pt] (-1)^k & 0
Os autovalores de Hk são lambda1 = (-1)^k e lambda2 = -(-1)^k, um positivo e outro negativo, logo a Hessiana é indefinida e cada ponto é ponto de sela.]

Passo 4

Como não há pontos onde a Hessiana seja definida positiva ou negativa, não existem mínimos nem máximos locais. Além disso, escolhendo y=tfracpi2 temos sin(y)=1 e
f(x,tfracpi2)=tfracpi2 + x,
que vai a +infty e -infty ao deixarmos x crescer ou decrescer. Portanto, não há extremos globais nem locais.

Resposta

A função não possui pontos de máximo nem de mínimo em R^2; existem apenas pontos de sela em
l((-1)^k+1,,kpir), kinZ

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