Determine os pontos de máximo e mínimo das funções
dadas abaixo nas regiões
indicadas.
plano todo
.
Passo 1
O enunciado pede para achar pontos de máximo e mínimo de
no domínio
.
O método geral é calcular os pontos críticos pela condição e usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.
O método geral é calcular os pontos críticos pela condição
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Impondo
temos o sistema
Da primeira igualdade vem
,
. Como
, a segunda dá
Logo, os pontos críticos são
Passo 3
Para classificar, montamos a Hessiana
Em
temos
e
, então
Os autovalores de
são
e
, um positivo e outro negativo, logo a Hessiana é indefinida e cada ponto é ponto de sela.]
Passo 4
Como não há pontos onde a Hessiana seja definida positiva ou negativa, não existem mínimos nem máximos locais. Além disso, escolhendo
temos
e
que vai a
e
ao deixarmos
crescer ou decrescer. Portanto, não há extremos globais nem locais.
Resposta
A função não possui pontos de máximo nem de mínimo em
; existem apenas pontos de sela em