Calcule as seguintes integrais
integralpi12^pi8 cos ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integralpi12^pi8 cos^2(x),dx.
Esse é um integral de função trigonométrica, e vamos usar a identidade de redução de potência
cos^2(x) = tfrac12l(1 + cos(2x)r).

Passo 2

Substituindo no integral, temos
integral cos^2(x),dx = tfrac12 integral l(1 + cos(2x)r),dx = tfrac12 l(integral 1,dx + integral cos(2x),dxr)
Logo,
integral cos^2(x),dx = tfrac12 l(x + tfracsin(2x)2r) + C = tfracx2 + tfracsin(2x)4 + C

Passo 3

Definimos a primitiva
F(x) = tfracx2 + tfracsin(2x)4.
Avaliando em x = tfracpi8 e x = tfracpi12:
Fl(tfracpi8r) = tfracpi/82 + tfracsin(pi/4)4 = tfracpi16 + tfractfracraiz224 = tfracpi16 + tfracraiz28,
Fl(tfracpi12r) = tfracpi/122 + tfracsin(pi/6)4 = tfracpi24 + tfractfrac124 = tfracpi24 + tfrac18

Passo 4

Subtraindo os valores de F,
integralpi12^pi8 cos^2(x),dx = Fl(tfracpi8r) - Fl(tfracpi12r) = l(tfracpi16 - tfracpi24r) + l(tfracraiz28 - tfrac18r) = tfracpi48 + tfracraiz2 - 18

Resposta

integralpi12^pi8 cos^2(x),dx = pi48 + raiz2 - 18

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