Exercício 14. Mostre que
M=x in R^3 ; x3=x1 x2+x1 x3+2 x1+2 x2
é uma superfície diferenciável e determine o seu plano tangente T0 M na origem.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
M=lx=(x1,x2,x3)inR^3mid x3=x1x2+x1x3+2x1+2x2r
é uma superfície diferenciável em torno da origem e, em seguida, determinar o plano tangente T0M no ponto 0=(0,0,0).
Para isso vamos usar o Teorema da Função Implícita: definimos uma função
F(x1,x2,x3)=x3-l(x1x2+x1x3+2x1+2x2r)
de classe C^infty e verificar que partial F/partial x3neq0 na origem, garantindo que M=F^-1(0) é localmente um gráfico de uma função de (x1,x2).

Passo 2

Calculemos a derivada parcial de F em relação a x3:
partial Fpartial x3 = 1 - x1
Em particular, no ponto 0=(0,0,0) tem-se
partial Fpartial x3(0,0,0) =1-0=1neq0
Pelo Teorema da Função Implícita, ao redor de 0 podemos resolver F(x1,x2,x3)=0 de forma única para x3=varphi(x1,x2), com varphi diferenciável. Logo M é superfície diferenciável perto da origem.

Passo 3

Para achar o plano tangente T0M usamos que
T0M = kerl(dF(0)r),
onde dF(0) é dado pelo gradiente de F em 0. Calculemos todas as derivadas parciais de F em 0:
partial Fpartial x1 =-x2-x3-2, partial Fpartial x2 =-x1-2, partial Fpartial x3 =1-x1
Em 0 isso fica
nabla F(0,0,0) =l(,-2,,-2,,1r)
Portanto
dF(0)(v1,v2,v3) =lang<=nabla F(0),,(v1,v2,v3)rang<= =-2v1-2v2+1cdot v3

Passo 4

O plano tangente T0M é o conjunto de vetores (v1,v2,v3) tais que dF(0)(v)=0, isto é
-2v1-2v2+v3=0
Assim, escrevendo genericamente um ponto (x1,x2,x3) do plano, obtemos a equação
-2x1-2x2+x3=0,
ou seja
x3=2x1+2x2

Resposta

O conjunto M é superfície diferenciável perto da origem e o plano tangente T0M é dado por
T0M=l(x1,x2,x3)inR^3mid x3=2x1+2x2r

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