Exercício 14. Mostre que
é uma superfície diferenciável e determine o seu plano tangente
na origem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é uma superfície diferenciável em torno da origem e, em seguida, determinar o plano tangente
no ponto
.
Para isso vamos usar o Teorema da Função Implícita: definimos uma função
Para isso vamos usar o Teorema da Função Implícita: definimos uma função
de classe
e verificar que
na origem, garantindo que
é localmente um gráfico de uma função de
.
Passo 2
Calculemos a derivada parcial de
em relação a
:
Em particular, no ponto
tem-se
Pelo Teorema da Função Implícita, ao redor de
podemos resolver
de forma única para
, com
diferenciável. Logo
é superfície diferenciável perto da origem.
Passo 3
Para achar o plano tangente
usamos que
onde
é dado pelo gradiente de
em
. Calculemos todas as derivadas parciais de
em
:
Em
isso fica
Portanto
Passo 4
O plano tangente
é o conjunto de vetores
tais que
, isto é
Assim, escrevendo genericamente um ponto
do plano, obtemos a equação
ou seja
Resposta
O conjunto
é superfície diferenciável perto da origem e o plano tangente
é dado por