1. Seja f(t)=ccm t-2, & se 1 <= t <= 2 t^4-4, & se 2<t <= 3 raizt+1-2t-3, & se 3<t <= 4
    (a) Determine m in R que torna f(t) contínua em t=2.
    (b) A função f, para m como no item anterior, é contínua em [1,4] ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(t)= m,t - 2, & 1 <= t <= 2, t^4 - 4, & 2 < t <= 3, dfracraizt+1-2,t-3,, & 3 < t <= 4,
e pede (a) o valor de m que torne f contínua em t=2, e (b) verificar se, para esse m, f é contínua em todo o intervalo [1,4]. Vamos usar a definição de continuidade: limite à esquerda = limite à direita = valor da função no ponto.

Passo 2

Para que f seja contínua em t=2 precisamos
limtto2^-f(t)=limtto2^+f(t)=f(2)
No ramo da esquerda temos
limtto2^-f(t)=mcdot2-2=2m-2,
e no ramo da direita
limtto2^+f(t)=2^4-4=16-4=12
Como f(2) é dado por mcdot2-2, igualamos
2m-2=12
2m=14
m=7

Passo 3

Com m=7, vamos checar continuidade em [1,4]:
1. Em cada intervalo aberto (1,2), (2,3) e (3,4), f é polinomial ou de raiz composta com denominador não nulo, logo contínua por teoria geral.
2. No ponto de junção t=2 já garantimos a continuidade escolhendo m=7.
3. No ponto t=3:
  • limite pela esquerda
limtto3^-f(t)=3^4-4=81-4=77;
  • limite pela direita
limtto3^+raizt+1-2t-3 =limtto3^+(raizt+1-2)(raizt+1+2)(t-3)(raizt+1+2) =limtto3^+t-3(t-3)(raizt+1+2) =1raiz4+2 =14
Mas f(3) está no segundo ramo, valendo 77. Como
limtto3^-f(t)=77neq limtto3^+f(t)=tfrac14,
há descontinuidade em t=3.
4. Nos extremos t=1 e t=4 não há problema: em 1 só existe limite pela direita e coincide com f(1)=7-2=5; em 4 só existe limite pela esquerda e coincide com f(4)=raiz5-2.

Resposta

(a) m=7.
(b) Não. Apesar de contínua em todos os outros pontos de [1,4], f tem descontinuidade em t=3.

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