Calcule as seguintes integrais:
\int\left(x^{2}+3 x-\sqrt{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+3 x-\sqrt{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando} = x^{2}+3 x-\sqrt{x}.
Não há outros dados (como limites); então procuramos uma antiderivada (primitiva) dessa função.

Passo 2

Primeiro simplificamos a escrita da raiz para trabalhar com potências, porque isso facilita aplicar regras padrão. Lembremos que
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Portanto o integrando fica
x^{2}+3x-x^{1/2}.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)+h(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx.
Isso permite integrar termo a termo. Também frequentemente é útil puxar constantes para fora da integral:
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é constante.

Passo 4

A regra principal que vamos usar é a regra da potência para integrais. Ela diz:
\text{se } n\neq -1,\quad \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é o expoente (um número real), x é a variável de integração, e C é a constante de integração. Exemplo rápido: usando a regra com n=2 obtemos \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Agora aplicamos tudo termo a termo.
  1. Para o termo \,x^{2}\,:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
  1. Para o termo \,3x\,: puxamos a constante 3 para fora e aplicamos a regra com n=1:
\int 3x\,dx = 3\int x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{3}{2}x^{2}.
  1. Para o termo -x^{1/2}: aplicamos a regra com n=\tfrac{1}{2}:
\int -x^{1/2}\,dx = -\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = -\frac{x^{3/2}}{3/2}.
Dividindo por 3/2 é o mesmo que multiplicar por 2/3, logo
-\frac{x^{3/2}}{3/2} = -\frac{2}{3}x^{3/2}.

Passo 6

Somando as primitivas de cada termo e acrescentando a constante de integração C, obtemos a antiderivada geral:
\frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{2}{3}x^{3/2}+C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta devemos retornar ao integrando.
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{2}x^{2}\right)=3x,\qquad \frac{d}{dx}\!\left(-\frac{2}{3}x^{3/2}\right)=-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=-x^{1/2},
somando dá x^{2}+3x-x^{1/2}, que é exatamente o integrando. Perfeito!

Resposta

\frac{x^{3}}{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{2}{3}x^{3/2}+C

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