Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
Não há outros dados (como limites); então procuramos uma antiderivada (primitiva) dessa função.
Passo 2
Primeiro simplificamos a escrita da raiz para trabalhar com potências, porque isso facilita aplicar regras padrão. Lembremos que
Portanto o integrando fica
Passo 3
Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Em fórmulas:
Isso permite integrar termo a termo. Também frequentemente é útil puxar constantes para fora da integral:
onde
é constante.
Passo 4
A regra principal que vamos usar é a regra da potência para integrais. Ela diz:
onde
é o expoente (um número real),
é a variável de integração, e
é a constante de integração. Exemplo rápido: usando a regra com
obtemos
.
Passo 5
Agora aplicamos tudo termo a termo.
- Para o termo
:
- Para o termo
: puxamos a constante para fora e aplicamos a regra com :
- Para o termo
: aplicamos a regra com :
Dividindo por
é o mesmo que multiplicar por
, logo
Passo 6
Somando as primitivas de cada termo e acrescentando a constante de integração
, obtemos a antiderivada geral:
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta devemos retornar ao integrando.
somando dá
, que é exatamente o integrando. Perfeito!