\lim _{x \rightarrow 0} \log \frac{x-x^{3}}{x^{2}+x}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \log\frac{x-x^{3}}{x^{2}+x}.
Informações relevantes que o enunciado dá e observações iniciais:
  • A expressão dentro do log é \dfrac{x-x^{3}}{x^{2}+x}.
  • A expressão não está definida em x=0 (pois há fator x em numerador e denominador) e em x=-1 (denominador zero). Para o limite x\to0 interessa o comportamento quando x se aproxima de 0, mas x não é exatamente 0.
  • Como estamos tomando \log real, o argumento do log precisa ser positivo nos pontos próximos a 0 para que o log esteja definido em torno de 0.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador para simplificar. Identificamos um fator comum x no numerador e no denominador:
x-x^{3}=x(1-x^{2}),\qquad x^{2}+x=x(x+1).
Portanto a fração é
\frac{x-x^{3}}{x^{2}+x}=\frac{x(1-x^{2})}{x(x+1)}.

Passo 3

Como estamos fazendo o limite quando x\to0 e consideramos x\neq0 nas proximidades de 0, podemos cancelar o fator comum x. Assim obtemos a forma simplificada (válida para x\neq0):
\frac{x-x^{3}}{x^{2}+x}=\frac{1-x^{2}}{x+1}.

Passo 4

Agora calculamos o limite da expressão simplificada. A função racional \dfrac{1-x^{2}}{x+1} é contínua em x=0 (denominador não nulo em 0), então podemos usar substituição direta:
\lim_{x\to0}\frac{1-x^{2}}{x+1}=\frac{1-0^{2}}{0+1}=1.

Passo 5

Precisamos garantir que o argumento do \log tende para um valor no domínio do log real e que o \log possa ser aplicado ao limite obtido. Verificamos o sinal da expressão perto de 0: para |x|<1 temos 1-x^{2}>0 e x+1>0, logo \dfrac{1-x^{2}}{x+1}>0 próximo de 0. Assim o argumento do \log é positivo para x suficientemente próximo de 0 (exceto x=0 onde a expressão original não está definida), portanto o limite do log faz sentido.

Passo 6

Usamos que \log é contínua no ponto 1. Se \lim_{x\to0} \dfrac{x-x^{3}}{x^{2}+x}=1, então
\lim_{x\to0}\log\frac{x-x^{3}}{x^{2}+x}=\log\!\left(\lim_{x\to0}\frac{x-x^{3}}{x^{2}+x}\right)=\log 1.
E sabemos que \log 1=0.

Passo 7

Conclusão final: o limite pedido é 0.

Resposta

0

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