Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá e observações iniciais:
- A expressão dentro do log é
. - A expressão não está definida em
(pois há fator em numerador e denominador) e em (denominador zero). Para o limite interessa o comportamento quando se aproxima de , mas não é exatamente . - Como estamos tomando
real, o argumento do log precisa ser positivo nos pontos próximos a para que o log esteja definido em torno de .
Passo 2
Fatoramos numerador e denominador para simplificar. Identificamos um fator comum
no numerador e no denominador:
Portanto a fração é
Passo 3
Como estamos fazendo o limite quando
e consideramos
nas proximidades de
, podemos cancelar o fator comum
. Assim obtemos a forma simplificada (válida para
):
Passo 4
Agora calculamos o limite da expressão simplificada. A função racional
é contínua em
(denominador não nulo em
), então podemos usar substituição direta:
Passo 5
Precisamos garantir que o argumento do
tende para um valor no domínio do log real e que o
possa ser aplicado ao limite obtido. Verificamos o sinal da expressão perto de
: para
temos
e
, logo
próximo de
. Assim o argumento do
é positivo para
suficientemente próximo de
(exceto
onde a expressão original não está definida), portanto o limite do log faz sentido.
Passo 6
Usamos que
é contínua no ponto
. Se
, então
E sabemos que
.
Passo 7
Conclusão final: o limite pedido é
.