\lim _{x \rightarrow 1} e^{\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1} e^{\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão envolve a função exponencial e^{(\cdot)} e um expoente que é a fração \dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}.
  • Quando x\to 1, tanto o numerador x-1 quanto o denominador \sqrt{x}-1 tendem a 0, então o expoente tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}.
  • Precisamos primeiro calcular o limite do expoente e só então avaliar a exponencial.

Passo 2

Entendendo a indeterminação \dfrac{0}{0} e o objetivo:
Quando uma expressão tem a forma \dfrac{0}{0} ao tentar substituir o ponto, não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — é preciso manipular algebricamente ou usar outro método para eliminar a indeterminação. Aqui o objetivo é achar
\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1},
pois a resposta do problema será e elevada a esse limite.

Passo 3

Truque algébrico (uso da fatoração/ conjugado):
Note que para x\ge 0 (domínio onde \sqrt{x} é real) vale a identidade algébrica
x-1 = (\sqrt{x})^2 - 1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1).
Essa é uma fatoração padrão: diferença de quadrados. Essa identidade é válida para todo x, e em particular para valores próximos de 1. Para x\neq 1 podemos cancelar \sqrt{x}-1 e obter
\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x}+1.
Importante: a igualdade acima vale para x\neq 1. Isso é suficiente para limites, porque ao calcular limite consideramos valores de x próximos de 1, não necessariamente iguais a 1.

Passo 4

Cálculo do limite do expoente usando continuidade:
Já que, para x\neq 1,
\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x}+1,
temos
\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \lim_{x\to 1} \big(\sqrt{x}+1\big).
A função \sqrt{x} é contínua em x=1, então podemos substituir:
\lim_{x\to 1} \big(\sqrt{x}+1\big) = \sqrt{1}+1 = 1+1 = 2.

Passo 5

Passo final: limite da exponencial usando continuidade da função e^t:
A função t\mapsto e^t é contínua em todo \mathbb{R}. Logo, se \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = 2, então
\lim_{x\to 1} e^{\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}} = e^{\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}} = e^{2}.
Ou seja, podemos trocar limite e exponencial por causa da continuidade.

Passo 6

Verificação rápida (intuição numérica):
Para ficar mais confiante, pegue x=1{,}01. Então \sqrt{x}\approx 1{,}004987, o expoente \sqrt{x}+1\approx 2{,}004987 e e^{2{,}004987} está bem próximo de e^{2}. Isso confirma que o limite faz sentido numericamente.

Resposta

e^{2}

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