Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão envolve a função exponencial
e um expoente que é a fração . - Quando
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a , então o expoente tem a forma indeterminada . - Precisamos primeiro calcular o limite do expoente e só então avaliar a exponencial.
Passo 2
Entendendo a indeterminação
e o objetivo:
Quando uma expressão tem a forma ao tentar substituir o ponto, não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — é preciso manipular algebricamente ou usar outro método para eliminar a indeterminação. Aqui o objetivo é achar
Quando uma expressão tem a forma
pois a resposta do problema será
elevada a esse limite.
Passo 3
Truque algébrico (uso da fatoração/ conjugado):
Note que para (domínio onde
é real) vale a identidade algébrica
Note que para
Essa é uma fatoração padrão: diferença de quadrados. Essa identidade é válida para todo
, e em particular para valores próximos de
. Para
podemos cancelar
e obter
Importante: a igualdade acima vale para
. Isso é suficiente para limites, porque ao calcular limite consideramos valores de
próximos de
, não necessariamente iguais a
.
Passo 4
Cálculo do limite do expoente usando continuidade:
Já que, para ,
Já que, para
temos
A função
é contínua em
, então podemos substituir:
Passo 5
Passo final: limite da exponencial usando continuidade da função
:
A função é contínua em todo
. Logo, se
, então
A função
Ou seja, podemos trocar limite e exponencial por causa da continuidade.
Passo 6
Verificação rápida (intuição numérica):
Para ficar mais confiante, pegue . Então
, o expoente
e
está bem próximo de
. Isso confirma que o limite faz sentido numericamente.
Para ficar mais confiante, pegue