Determinar
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O primeiro número é
. - O segundo número é
.
A pergunta é: qual é o máximo divisor comum entree ?
Passo 2
Vou usar o Algoritmo de Euclides para encontrar o
. Antes de aplicar, explico a ideia básica de forma bem direta e prática:
- Teorema da divisão (algoritmo da divisão): dados inteiros
e , existem inteiros únicos (quociente) e (resto) tais que
- Propriedade útil do
: se então
Isto é, o máximo divisor comum de
e
é o mesmo de
e do resto
. Repetindo essa redução até obter resto zero, o último resto não nulo é o
.
Explicação rápida do porquê da propriedade: qualquer divisor comum de
e
divide
. E qualquer divisor comum de
e
divide
. Logo os conjuntos de divisores comuns coincidem, então os máximos coincidem.
Passo 3
Aplicando o algoritmo de Euclides em
e
:
Dividir
por
. Pelo teorema da divisão existe
e
tais que
É claro que
e
, pois
Passo 4
Pela propriedade do
,
Agora dividir
por
:
Aqui o resto ficou
. No algoritmo de Euclides, quando o resto é zero, o último resto não nulo (aqui
) é o
.
Passo 5
Portanto
Comentário didático e intuitivo adicional (para fixar):
e
são números consecutivos. Qualquer divisor comum de dois inteiros consecutivos divide a diferença entre eles, que é
. O único divisor positivo de
é
. Logo números consecutivos são sempre relativos primos (ou seja,
). Exemplos rápidos:
,
.