Determinar
(c) m d c(17,18)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de \mathrm{mdc}(17,18).
Informações dadas:
  • O primeiro número é \,17\,.
  • O segundo número é \,18\,.
    A pergunta é: qual é o máximo divisor comum entre \,17 e \,18 ?

Passo 2

Vou usar o Algoritmo de Euclides para encontrar o \mathrm{mdc}. Antes de aplicar, explico a ideia básica de forma bem direta e prática:
  • Teorema da divisão (algoritmo da divisão): dados inteiros a e b>0, existem inteiros únicos q (quociente) e r (resto) tais que
a = bq + r,\qquad 0 \le r < b.
  • Propriedade útil do \mathrm{mdc}: se a = bq + r então
\mathrm{mdc}(a,b) = \mathrm{mdc}(b,r).
Isto é, o máximo divisor comum de a e b é o mesmo de b e do resto r. Repetindo essa redução até obter resto zero, o último resto não nulo é o \mathrm{mdc}.
Explicação rápida do porquê da propriedade: qualquer divisor comum de a e b divide a - bq = r. E qualquer divisor comum de b e r divide bq + r = a. Logo os conjuntos de divisores comuns coincidem, então os máximos coincidem.

Passo 3

Aplicando o algoritmo de Euclides em \,18 e \,17:
Dividir \,18 por \,17. Pelo teorema da divisão existe q e r tais que
18 = 17\cdot q + r,\qquad 0 \le r < 17.
É claro que \,q=1 e \,r=1, pois
18 = 17\cdot 1 + 1.

Passo 4

Pela propriedade do \mathrm{mdc},
\mathrm{mdc}(18,17) = \mathrm{mdc}(17,1).
Agora dividir \,17 por \,1:
17 = 1\cdot 17 + 0.
Aqui o resto ficou 0. No algoritmo de Euclides, quando o resto é zero, o último resto não nulo (aqui \,1) é o \mathrm{mdc}.

Passo 5

Portanto
\mathrm{mdc}(17,18) = 1.
Comentário didático e intuitivo adicional (para fixar): \,17 e \,18 são números consecutivos. Qualquer divisor comum de dois inteiros consecutivos divide a diferença entre eles, que é 1. O único divisor positivo de 1 é 1. Logo números consecutivos são sempre relativos primos (ou seja, \mathrm{mdc}=1). Exemplos rápidos: \mathrm{mdc}(8,9)=1, \mathrm{mdc}(14,15)=1.

Resposta

1

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