A partir da tabela:
x_{1} 1 2 3 4 5 6
y_{1} 70 50 40 30 20 10
a) Calcule o coeficiente de correlação;
b) Determine a reta ajustada;
c) Estime o valor de Y para x=0.

Passo 1

O enunciado fornece a tabela de pares (x_i,y_i) com i=1,\dots,6 e pede três coisas:
  • (a) Calcular o coeficiente de correlação de Pearson;
  • (b) Determinar a reta de regressão ajustada (reta de mínimos quadrados de Y sobre X);
  • (c) Estimar o valor de Y para x=0.
Os dados dados são (peguei estes valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\hline y_i & 70 & 50 & 40 & 30 & 20 & 10 \end{array}
Vou precisar dos somatórios básicos: \sum x_i, \sum y_i, \sum x_i^2, \sum y_i^2, \sum x_i y_i.

Passo 2

Calcular os somatórios (mostrando conta):
\sum_{i=1}^{6} x_i = 1+2+3+4+5+6 = 21.
\sum_{i=1}^{6} y_i = 70+50+40+30+20+10 = 220.
\sum_{i=1}^{6} x_i^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2 = 1+4+9+16+25+36 = 91.
\sum_{i=1}^{6} y_i^2 = 70^2+50^2+40^2+30^2+20^2+10^2 = 4900+2500+1600+900+400+100 = 10400.
\sum_{i=1}^{6} x_i y_i = 1\cdot70+2\cdot50+3\cdot40+4\cdot30+5\cdot20+6\cdot10 = 70+100+120+120+100+60 = 570.
O número de observações é n=6. As médias são
\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=3,5, \qquad \bar{y}=\frac{\sum y_i}{n}=\frac{220}{6}=\frac{110}{3}\approx36,666\ldots

Passo 3

Fórmula do coeficiente de correlação de Pearson (explicando o que é): r mede a associação linear entre X e Y. A fórmula que usaremos é
r=\frac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)} {\sqrt{\bigl(n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\bigr)\bigl(n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2\bigr)}}.
Substituindo os somatórios que calculamos:
\text{numerador} = 6\cdot570 - 21\cdot220 = 3420 - 4620 = -1200.
n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2 = 6\cdot91 - 21^2 = 546 - 441 = 105.
n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2 = 6\cdot10400 - 220^2 = 62400 - 48400 = 14000.
Logo o denominador é
\sqrt{105\cdot14000}=\sqrt{1470000}=\sqrt{147\cdot10000}=100\sqrt{147}=700\sqrt{3}.
Portanto
r=\frac{-1200}{700\sqrt{3}}=-\frac{1200}{700\sqrt{3}}=-\frac{12}{7\sqrt{3}}.
Racionalizando para uma forma alternativa e obtendo aproximação decimal:
r=-\frac{12}{7\sqrt{3}}=-\frac{12\sqrt{3}}{21}=-\frac{4\sqrt{3}}{7}\approx-0,9897.
Interpretação curta: r é muito próximo de -1, indicando uma forte correlação linear negativa entre X e Y.

Passo 4

Agora vamos ajustar a reta de regressão de Y sobre X. As fórmulas de mínimos quadrados são:
\hat{\beta}_1=\frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} \qquad\text{(coeficiente angular)},
\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x} \qquad\text{(intercepto)}.
Já calculamos o numerador comum (é -1200) e o denominador para \hat{\beta}_1 105). Então
\hat{\beta}_1=\frac{-1200}{105}=-\frac{1200}{105}=-\frac{80}{7}\approx-11,4286.
Explicando: o sinal negativo significa que quando x aumenta, a previsão de y diminui.

Passo 5

Calcular o intercepto usando \bar{x}=\tfrac{7}{2} e \bar{y}=\tfrac{110}{3}:
\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}=\frac{110}{3}-\Bigl(-\frac{80}{7}\Bigr)\cdot\frac{7}{2} =\frac{110}{3}+\frac{80}{7}\cdot\frac{7}{2}.
Note que \frac{80}{7}\cdot\frac{7}{2}=\frac{80}{2}=40. Assim
\hat{\beta}_0=\frac{110}{3}+40=\frac{110}{3}+\frac{120}{3}=\frac{230}{3}\approx76,6667.
Portanto a reta ajustada (estimativa de Y dado x) é
\hat{Y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x=\frac{230}{3}-\frac{80}{7}x
ou, em aproximação decimal,
\hat{Y}\approx76,6667-11,4286\,x.

Passo 6

Estimativa para Y quando x=0: basta substituir x=0 na reta ajustada:
\hat{Y}(0)=\frac{230}{3}-\frac{80}{7}\cdot0=\frac{230}{3}\approx76,6667.
Interpretação rápida: a previsão de Y no ponto x=0 é o intercepto da reta.

Resposta

(a) r=-\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\approx-0,9897
(b) \hat{Y}=\dfrac{230}{3}-\dfrac{80}{7}\,x \approx76,6667-11,4286\,x
(c) \hat{Y}(0)=\dfrac{230}{3}\approx76,6667

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