Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
invertendo a ordem de integração. O conteúdo é mudança de ordem numa integral dupla sobre uma região do plano e depois cálculo de uma integral simples em uma variável.
Passo 2
Descriminamos a região
em coordenadas
. As condições são
Da segunda condição tiramos
Logo para um dado
o
varia de
até
.
Passo 3
Agora encontramos os limites de
. Vendo que
vai de
a
, os valores de
que aparecem vão de
a
. Assim a integral invertida fica
Passo 4
Como a função
não depende de
, integramos primeiro em
:
Portanto a integral torna-se
Passo 5
Separe em duas integrais:
Para a primeira, use
,
:
Para a segunda, com o mesmo
:
Passo 6
Subtraindo e avaliando de
a
:
No ponto
isso vale
e em
vale
A diferença
é