Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:
integral0^1 integraly^raiz[3]y sen(x^2) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integraly^raiz[3]ysenl(x^2r),dx,dy
invertendo a ordem de integração. O conteúdo é mudança de ordem numa integral dupla sobre uma região do plano e depois cálculo de uma integral simples em uma variável.

Passo 2

Descriminamos a região D em coordenadas (x,y). As condições são
0<= y<=1, y<= x<= y^1/3
Da segunda condição tiramos
x>= yimplies y<= x, x<= y^1/3implies y>= x^3
Logo para um dado x o y varia de y=x^3 até y=x.

Passo 3

Agora encontramos os limites de x. Vendo que y vai de 0 a 1, os valores de x que aparecem vão de 0 a 1. Assim a integral invertida fica
integralx=0^1integraly=x^3^xsenl(x^2r),dy,dx

Passo 4

Como a função sen(x^2) não depende de y, integramos primeiro em y:
integraly=x^3^xsenl(x^2r),dy =l[x - x^3r];senl(x^2r)
Portanto a integral torna-se
integral0^1l(x - x^3r)senl(x^2r),dx

Passo 5

Separe em duas integrais:
integral0^1x,sen(x^2),dx ;-; integral0^1x^3,sen(x^2),dx
Para a primeira, use u=x^2, du=2x,dx:
integral x,sen(x^2),dx =tfrac12integralsen(u),du =-tfrac12cos(u) =-tfrac12cos(x^2)
Para a segunda, com o mesmo u:
integral x^3sen(x^2),dx =tfrac12integral u,sen(u),du =tfrac12l(-ucos u+sin ur) =-tfrac12,x^2cos(x^2)+tfrac12sin(x^2)

Passo 6

Subtraindo e avaliando de 0 a 1:
l[-tfrac12cos(x^2)r]0^1 ;-; l[-tfrac12,x^2cos(x^2)+tfrac12sin(x^2)r]0^1
No ponto x=1 isso vale
-tfrac12cos1 ;-;l(-tfrac12cos1+tfrac12sin1r) =-tfrac12sin1,
e em x=0 vale
-tfrac12cdot1 ;-;l(0+0r) =-tfrac12
A diferença F(1)-F(0) é
-tfrac12sin1-(-tfrac12) =tfrac12l(1-sin1r)

Resposta

integral0^1integraly^raiz[3]ysenl(x^2r),dx,dy =1-sen(1)2

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